第六章 微分学基本定理及其应用 6.1 中值定理 6.2 洛必达法则 6.3 泰勒公式 6.4 导数在研究函数中的应用 6.1 中值定理极大值 极大值 极小值 极小值 极小值 x y O 图 1罗尔 ( Rolle ) 定理 满足: (1) 在区间 a , b 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 证: 故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 注意: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 则由费马定理得 使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . 例1 不求导数, 判断函数 f(x)(x+1)(x3)(x+3)的导数 有几个实根 以及其所在范围 解 f(-3)f(-1)f(3)0 f(x)在-3 -1 -1
