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实变函数论考试试题及答案(共5页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上实变函数论考试试题及答案证明题:60分1、证明 。证明:设,则,使一切,所以,则可知。设,则有,使,所以。 因此,=。2、若,对,存在开集, 使得且满足 ,证明是可测集。证明:对任何正整数, 由条件存在开集,使得。令,则是可测集,又因,对一切正整数成立,因而=0,即是一零测度集,故可测。由知可测。证毕。3、设在上,且几乎处处成立,, 则有a.e.收敛于。证明 因为,则存在,使在上a.e.收敛到。设是不收敛到的点集。,则。因此。在上,收敛到, 且是单调的。因此收敛到(单调序列的子列收敛,则序列本身收敛到同一极限)。即除去一个零集外,收敛于,就是 a.e. 收敛到。4、设,是上有限的可测函数。证明存在定义于上的一列连续函数,使得 于。证明: 因为在上可测,由鲁津定理,对任何正整数,存在的可测子集,使得,同时存在定义在上的连续函数,使得当时有=。 所以对任意的,成立, 由此可得 。 因此 ,即,由黎斯定理存在的子列,使得

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