1、第 0 页 共 13 页数学建模 课程期末论文姓 名 学 号 班 级 学 院 联系电话学生个人信息问题分析与假设模型建立与求解 求解结果格式规范行文表述 总评分论文评分标准与结果说明：（1）上述个人信息务必填写准确！（2）请先仔细阅读“课程期末论文具体要求”，及时提交论文。（3）请按照本模板来撰写数学建模论文，正式撰写时请删去模板中的提示文字。猎狗追兔问题一、问题重述如图 1 所示，有一只猎狗在 B 点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它 250m 的地方 O处，此时兔子开始以 8m/s 的速度正向正西北方向，距离为 150m 的洞口A 全速跑去. 假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向
2、全速奔跑。请回答下面的问题： 猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是少？ 假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的 距离为30m时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半，而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加 0.1 倍，在这种情况下回答前面两个问题。BANOWSE第 1 页 共 13 页二、问题分析与假设在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶，所以可以建立平面直角坐标系，通过导数联立起猎狗运动位移，速度和兔子的运动状态。1.假设兔子的运动是匀速的。2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。4.猎狗运动时总是朝向
3、兔子。三、模型的建立及求解3.1 符号规定1.（x，y）：猎狗或者兔子所在位置的坐标。2. t：从开始到问题结束经过的时间。3. a:猎狗奔跑的路程。4. v:猎狗的奔跑速度。3.2 问题一的模型建立与求解猎狗能够抓到兔子的必要条件：猎狗的运动轨迹在OA要有交点以OA为y轴，以OB为x轴建立坐标系，则由图有O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0点,而猎狗初始位置是B点，t（s）后猎狗到达了C（x，y） ，而兔子到达了D（0，8t） ，则有CD的连线是猎狗运动轨迹的一条切线，由导数的几何意义有：BANOWSE第 2 页 共 13 页22dydxdavtax8t-ydx
4、三式联立消去t，得到; v8q dx1v8dxy22设 ： ）（若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB之间运动时此方程有解，设： dxpdxy2dx得到： 025p xdqp1d2 ）（得到： q2 q2x50p1-px）（ ）（第 3 页 共 13 页两式联立相加得到： 0)25( )250()(1dxyxxqq1.如果 q=1 即 v=8 m/s 得到： )250ln(5021y xx所以此情况无交点，所以 v=8m/s 猎狗无法,追上兔子；2.如果 q8m/s 得到： 12)250(1)250(1250y qxqxqqq 此情况有交点，所以有可能能够追上兔子，如-x，果要追上兔子
5、需要 y1 利用上式得到 0,xy，所以这种情况不能追上兔子。综上讨论，猎狗可以追上兔子的最小速度为48615。3.3 问题二的模型建立与求解如果猎狗可以追上兔子那么猎狗的轨迹和兔子的轨迹必相交与一点，此时兔子的路程 251qy，所用放的时间258(1)yqt，那么猎狗的的路程a=tv;第 4 页 共 13 页带入数值解得a=90615。3.4 模型三的建立与求解模型三利用matlab试验，得到代码如下：a=8;dogxa=;dogya=;rabbitxa=;rabbitya=;d=1;dogx=250;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;t=0;dt=0.001;for b=0:100dogx=250;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;t=0;c=b;a=8;while(sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)dif(sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)ddx=dx-v*dt*dx/sqrt(dx2+(a*t-dy)2);dy=dy+v*dt*(a*t-dy)/sqrt(dx2+(a*t-dy)2);ry=a*t;plot(dx,dy,rx,ry,y*)end
