无理数的存在性证明及应用(本科毕业论文).doc

1、0本科毕业论文无理数 的存在性证明及应用e1目 录1 引言 .12 文献综述 .12.1 国内外研究状况现状 .12.2 国内研究状况现状评价 .13 e的发现及定义 .13.1 的发现及符号表示 .13.2 的定义 .53.2.1收敛级数定义 .53.2.2极限定义 .63.3 e的意义 .74 的存在性与无理性证明 .84.1 的存在性证明 .84.2 e的无理性证明 .115 的应用 .115.1 在求极限中的应用 .115.2 正态分布概率论中的 e.135.3 生活实际问题 .135.4 银行复利率问题 .146 结论 .166.1 主要发现 .166.2 启示 .166.3 局限性

2、 .166.4 努力方向 .16参考文献 .1721 引言一位著名的学者曾说过：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或其与别的事物的关系都不能为人所清楚了解”. 确实，人类文明的发展与进步得益于人们对数的研究与实践. 甚至有些数极为重要，譬如大家所熟悉的 0和 1，还有其它更加重要的常数，如 ， ， ， ，人们习惯分别称它们为圆周率、虚数单位、黄金分割数、ie纳皮尔常数. 关于前三者的论述文章非常多，而 似乎是一个习以为常的数,不被人们e所重视. 它随着科技发展越来越多地出现在微积分、概率统计等学科中；它是今天银行业中对银行家最有帮助的一个数，此外在考古学中古生物年限的鉴定中也有涉及.

3、目前，初等数学教材以及理工科相关教材中对于 通常作如下定义：“在科学技术e中常常使用无理数 ，它的前十位小数是 2.7182818284，以其为底的对数叫做自e然对数，为了简便，N 的自然对数 记为 ，以 为底的指数函数 和自然对Neloglnxe数函数 在高等数学中占有极重要地位”.那么，常数 到底是一个怎样的一个数呢？xln e其值是如何而来的？在十进制的数系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以 10为底的常用对数更自然吗？它还有哪些方面的应用？2 文献综述2.1 国内外研究状况现状在所查阅到的国内外参考文献1-15中，文献1论述了对数与 的起源之间的关e系、表示形式、无理性与超越性；文献

4、2论述了无理数 的极限表示形式；文献3简e单介绍了数 的近似计算及超越性证明；文献 4-7介绍了数 的对数表的编制及发展e过程；文献8论述了无理数 在科学技术中占有重要地位及其应用并给出了 的无理e e性简洁证明；文献9-15介绍了 的发现历史过程和性质. 2.2 国内研究状况现状评价在所查阅到的国内外参考文献1-15中，大多是针对 的无理性证明进行研究，研e究比较分散，没有系统地归纳和研究，对 的产生背景及应用的研究不多. e3 e的发现及定义33.1 的发现及符号表示e早在 15,16世纪，随着天文和航海等技术研究的广泛兴起，解决天文计算的困难成了当时最紧迫的任务. 如何把大数的乘、除、乘

5、方、开方运算转化为加、减、运算成为当时的一种迫切要求，也引起了大家的思考. 1544年，德国数学家斯蒂菲尔在整数算术一书中论述了等差数列和等比数列的关系. 对于下面两个数列 32168421481503， ， 他把上面一行命名为指数，并指出：“上行的加、减、乘和除分别对应于下行的乘、除、乘方和开方”. 若将上行的数记为 ，下行的数记为 ，则上、下两行中相应yx的数满足 ，一般地，若以 1为公差的等差数列与以 为公比的等比数列相互对应，yx2 a则等比数列中任意两数的积或商就可以用等差数列中对应上述两数的和或差求得，且两行中相应的数恒有关系： . 在此关系中，以 为真数， 为底， 为对数，则ya

6、xxy可利用 与 进行简单的计算. 但是，这种关系对于简化计算而言尚不具有实用价值，xy因为在上表中只能做与偶数及 的整数幂有关的计算，而不可能做其他数的计算. 因21此，要把这种想法发展到能够实用的程度，就必须使两个数列的数间距足够小，假如在等差数列中插入中项：， 35.2.15.0，还必须算出对应的数列. 35.25.15.02，然而，因当时还不能计算指数为小数的幂，因此这种想法就不可能推广使用. 1614年，英国数学家纳皮尔在爱丁堡出版他的著作论述奇妙的对数 ，成为历史上第一个给对数命名的人.瑞士钟表制造者比尔吉于 1620年以算术与几何级数表为题也公布了对数表. 早在 1647年，比利

7、时数学家圣文森特就计算了等轴双曲线下图形的积分，至于他是否发现了它与对数的联系，这在数学史上是有争议的. 直到 1661年，荷兰数学家惠更斯清楚解释了等轴双曲线 的面积与对数之间的关系. 1667年，英国数学家格xy14雷戈里也通过计算双曲线和渐进线所围成的图形面积来计算对数. 用图 1或图 2的面积表示对数时图 1的面积不是 的连续函数，而图 2的面积却是 的连续函数.可以想x x象，图 2表示的对数比图 1表示的对数有着许多简便的地方，所以丹麦数学家买卡托在 1668年出版的对数技术中将图形 2所表示的新对数取名为“自然对数或双曲对数”.若在图 1中以 代替 ，且 趋向于无穷大时便得到图

8、2的面积，即nx410xn在比吉尔的对数底数中用 代替 ，再令 无限变大，取极限就得到自然对数的底数1. ynx1代替 yyx41010.当 无限变大时，底数就是 .n 7182.1limnn图 1曲线 下面积近似图 图 2曲线 下面积图xyxy11683年，瑞士著名数学家雅各伯努利提出复利问题，在检查这个连续的复利时，5他努力寻找 当 时的极限. 利用二项式定理，他指出这个极限在 之n132间 . 这是对 的近似值的首次估计，也是数学史上第一次用极限来定义一个数，即e.nne1lim1690年，德国大数学家莱布尼茨在给惠更斯的一封信中首次用字母 来表示自然b对数的底，使得“自然对数的底”终于

9、有了它的名字而被认同，而现在用 来表示对数e的底应归功与瑞士大数学家欧拉. 在俄罗斯彼得堡科学院写的一部手稿中，欧拉建议“将对数为 1的数记作 ，即 ”.并在书中 16次出现 代替 ，至e7182. 718.2于欧拉为什么用字母 来表示自然对数的底有人认为 来自他自己名字的首字母；也有e人认为， 来自于指数（exponential）的首字母；还有人认为， 是第二个元音字母，e e因为欧拉在其著作中已经使用了第一个元音字母 .而符号 首次公开出现是在 1731年a欧拉写给哥德巴赫的一封信中. 是一个特殊的重要极限，在高等数学及其应用领域中起着奠基般的举足轻重的作e用. 但如此重要的极限，在一般的

10、教科书中对它的存在性的证明却叙述得较少，甚至不证明，只让去死记硬背一个十分难记难懂的结论. 是作为一个数列的极限而出现的.“ ”这个符号是瑞士数学家欧拉在 1727年e e首先引进的.为什么用 来表示自然对数的底，至今原因还不明. 有人猜测，可能是因e为 是 “指数的第一个字母. 另一种猜测是： ， ， 和 经常有其他用途，接下来abcd的 ”就成了首选 . e第一次在出版物中用 来表示自然对数的底，是欧拉在 1736年出版的力学第e一卷中. 在 1747-1751年的文章中，欧拉都用 来表示自然对数的底. 后来，有研究者e用字母 表示自然对数的底，但 较常用，于是最终成为“标准符号”. c接

11、着，以下几位数学家也用 来表示自然对数的底：瑞士数学家丹尼尔伯努利在e1760年，兰伯特在 1764年，法国数学家孔多塞在 1771年，法国贝祖在 1779年，法国克拉姆在 1808年. 在 17世纪对数传入中国以后，又有了几种专门表示 的符号. 例如，李善兰在e1859年翻译的代数学卷首就有：“又訥（今简化为讷）字代二、七一八二八一八，为讷白尔（即纳皮尔）的对数率. ”由此可见，他用“讷”代表自然对数的底，但却6误以为纳皮尔对数的底是 2.7182818. 又如：1873 年，华蘅芳翻译的代数术卷十八中就有：“则得其常数为二七一八二八一八四五九四五不尽，此数以戊代之可见戊即为讷对之底.”可以

12、看出，他用“戊”表示自然对数的底. 显然，这与当时把 ABCD翻译成甲乙丙丁戊有关. 后来，中国的数学书用横排和西文方式，采用了 . e3.2 e的定义3.2.1 收敛级数定义定义 4：如果级数 是收敛的，那么 ！ 1312n. （3- ！e1）以下首先证明（3-1）的收敛性. 显然， （3-1）的前 项和n. （3-！13121ns！2）容易看出 nsss321而且有，1，2321 21个nn所以有7. 232111nns用等比数列的求和公式，就得到 . 再结合（3-2）可以看出，数列ns虽然逐渐增大，但始终小于 3，所以（3-1）是收敛的，而且 ， nss231，就是 . 证毕. limn

13、3e3.2.2 极限定义定义：当 为自然数时， .nnne1lim根据二项式定理，把 nnx1展开得： nn nnnn 1!)()2(11!3)2(1!2)(1!1 32 )()()(3)(2 仿照这种方法， 也可以这样展开：11nnx 121!32nn！1)(21! n比较 和 的展开式各项可以看到，除了第一项相等以外， 的每一项都小于nx1 nx的对应项，并且 还多了最后的一个正项 . 于是得到 ，即数列1nnx 1n）（ 1n是递增的. x此外，用较大的数 1代替 的展开式右边各项括号内的数，就得到nx8321 2121!43 n nn nx 从这个式子中可以看出，不论 取什么值，数列

14、总是小于 3，即有上界. 显然，nx的极限存在. 现在用字母 来表示这个极限，就是nxeenn1lim对于 的结论，不但在 是自然数时成立，而且可以证明，当enn1lim是连续变量的时候也成立. )0(3.3 e的意义对数的引进对于简化运算有很大的好处，除 1以外的正数都可以作为对数的底，由于人们习惯使用十进制的数，因此从实际计算的角度看，采用以 10为底的“常用对数”是比较方便的，但是，常用对数的真数 N与其对数 lgN的增长表现出明显的不对称性，而且当真数均匀增长时，lgN 的增长却不均匀，从美学的角度讲，这是不十分理想的. 而在寻求表现对称美的对数底数的尝试中，发现了以数列 中各项依次n

15、1作底，会使对称性越来越好，因此若采用 为底，就可以达到完全的对称. 另一方面，e在理论研究中，使用以 为底的对数比常用对数更为方便. 特别的是，反映自然界规律e的函数关系，若是以指数形式或对数形式出现，则必定是而且只是以 为底的. 所以e为底的对数叫做自然对数 . e微积分的出现，使人们对使用以 为底的指数函数 及其反函数 的好处有了更exexln为清醒的认识，如下列运算中不可避免地要出现以 为底的自然对数： ，axl. 而以 为底的指数、对数函数在形式上却简单的多： 从而axaln1loge 1l； 更为特殊，它有任意阶导数且形式不变，即 ，它是唯一cdx xnxe9具有这一特性的函数.

16、并有 ，这一性质在求解微分方程中得到充分地应xnkxe用. 因此对 研究具有重要的意义.e4 e的存在性与无理性证明4.1 的存在性证明证明极限 exx1lim首先给出关于极限存在的两个基本准则. （I） 夹逼准则：如果函数 且 ，)()()(xfAx)(lim，那么 .Ax)(limAxf)(lim（II） 单调有界数列必有极限. 这个函数既不是幂函数也不是指数函数，人们称之为幂指数函数. xxf1)(只有当 时这个函数才有定义，故只对 与 来证明. 00x1当 时，首先让 取正整数，即 若 而 有伯 1 xx32， nx0)(x努利不等式 ，这个不等式可由二项式定理推出，并且对 时不n1 1等式仍然成立，可由由数学归纳法证明. 因此，对伯努利不等式将 换成 ，便有x)(2nn1)1(2或者