行列式的计算技巧——数学与应用数学毕业论文.doc

1、2016 届本科毕业论文行列式的计算方法姓 名：_ * _院 别：_数学与信息科学学院_专 业：_数学与应用数学_学 号：_ 0000000000_ 指导教师：_ _ * _ _ 2016年 5 月 1 日2016届本科生毕业论文I目录摘 要 .1关键词 .1Abstract.1Key words.10 引言 .21 基本理论 .22 行列式的计算技巧 .42.1 化三角形法 .42.2 递推法 .72.3降阶法 .82.4数学归纳法 .92.5 范德蒙德行列式法 .102.6 拉普拉斯定理法 .132.7 拆行(列)法 .152.8 构造法 .16参考文献 .17致 谢 .172016届本科

2、生毕业论文1行 列 式 的 计 算 方 法摘 要行列式是代数学重要研究工具,并且在物理,经济,金融等各学科当中都着有广泛的应用.本文针对行列式的特点,利用行列式的性质,主要讨论了行列式的计算方法,例如：三角形行列式法，递推法，降阶法，范德蒙德行列式法等，并且根据每一种计算方法的特点，通过典型的例题进行论述.关键词行列式;计算技巧;范德蒙行列式;上三角形The determinant calculation techniquesAbstractDeterminant is an important tool in algebra research, which has a wide range

3、of applications in physics, economic, financial and so on. This paper according to the character and quality of determinant, discuss the calculation method to determinant, for instance: the triangle method, the recursion method, the order reduction method, Vandermonde determinant method ect, basis o

4、n the character of every calculation method, discuss things through typical examples.Key wordsThe determinant; Computing skills; Vandermonde determinant; The triangle2016届本科生毕业论文20 引言行列式描述的是在 维空间中,一个线性变换形成的平行多面体的体积,被广泛应用于n解线性方程组,计算微积分,矩阵运算等.行列式最初是伴随着方程组的求解发展起来的.发展至今,行列式已成为代数学中的重要内容,在数学理论上有着十分重要的地位.行

5、列式的概念最早是在十七世纪日本数学家关孝和在一部叫做解伏题之法的著作中提出来的.十八世纪法国数学家范德蒙德首先把行列式作为专门理论独立于线性方程组之外进行研究.而十九世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期.1815 年,柯西在他的一篇论文当中给出了关于行列式的第一个系统的、并且几乎是近代的处理.当中主要结果之一则是是行列式的乘法定理.除此之外,他还是把行列式的元素排成方阵的第一人,并且采用双足标记法.他不仅引进了行列式特征方程的专业术语;还给出了相似行列式概念.本文主要讨论行列式解题方法和解题思路.本文重点讨论了 8 种较为典型的计算行列式的解题技巧,并在给每一种计算技巧都提供了典型的例题,帮

6、助理解相对应的技巧方法.本文分成两个部分,第一部分重点叙述了行列式的定义,基本性质以及矩阵的定义.第二部分论述了计算行列式的方法以及应用. 以便可以更有针对性的根据行列式的特点选择出比较便捷的计算方法,从而更快的计算出行列式,并且在物理,经济,金融等各学科当中能够取得更有效的学习.1 基本理论1.1 定义 1 级行列式2n1211nnnaa等于所有取自不同行不同列的 个元素的乘积(1)12njja的代数和,这里 是 的一个排列,每一项(1) 都按下列规则带有符号: 当12nj ,是偶排列时,(1) 符号为正;当 是奇排列时,(1)带有负号.此定义又可写成12nj 2nj 1212121()12

7、1=, nnnjjjjnnaaa这里 表示对所有 级排列求和.12jn1.2 级行列式的基本性质性质 1 行列互换,行列式不变. 2016届本科生毕业论文3.121121221212nnnnnnaaa 性质 2 行列式中任意两个行或列互换,行列式值改变符号.1211211212n niiijjjjjjniiinnnaaaaaa 性质 3 某个数乘以行列式的某一行或者某一列,则可以将该数提取到行列式外.1211211212n niiiiiinnnnkakaa 性质 4 如果某一行(列)是两组数相加的和,那么此行列式就等于两个行列式的和,而3这两个行列式除去这一行(列)之外,剩下的元素全部对应相同

8、.112112112112 1212n nnnnnnnnnaaaaabcbcbccaaaaa 性质 5 如果行列式中有两行或者两列的对应元素相同,则此行列式的值为零.121120niiiiiinnaa 性质 6 如果在行列式中任意两行(列)对应成比例,则此行列式的值为零.2016届本科生毕业论文4.12112112120n niiiiiiiiiniiinn naaakkaaa 性质 7 把一行(列)的倍数加到另一行(列),则此行列式值符号相反.112112112 12n nijij ijiiijj jnjjjnnn naaakakaaa 2 行列式的计算技巧行列式是线性代数中的一个重要研究对象

9、,并且是线性代数中 最基本,最常用的 一 个的工具,因此研究行列式计算技巧实是为了更好的去了解行列式计算过程中的一些方法,为更快更好更方便的解答行列式的计算提供方法.2.1 化三角形法定义 2 由 个数排列成的 行 列的表mnn1212m12nmnaa称为一个矩阵.定义 3 数域 上矩阵的初等行(列)变换是指以下三种变换:,p(2) 交换矩阵的两行(列);(3) 以一个数 0k乘矩阵某一行 (列)的所有元素;(4) 把矩阵的某一行(列)所有元素的 k倍加到另一行(列)对应的元素上去;矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.定义 4 数域 上主对角线以下或以上的全体元素都是零的 阶方阵

10、，称为三角矩阵.Pn定义 5 主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角行行列式.且对角线以下(上)的元素全为零的行列式叫做上(下)三角形行列式.命题 1 上三角形行列式等于主对角线上元素的乘积,即4 121220.nnnaaa 2016届本科生毕业论文5证明 我们首先观察形如(1)式的项有哪一些不为零，然后再来决定他们的符号.项的一般形式为,12njja在行列式中第 行的元素除去 以外全为零,因之,只要考虑 的那些项.在第 行nn nj-1n中,除去 外，其余的项全为零. 因之 这两个可能.由于 ,所以1,a 1,njnj就不能等于 了,从而 .这样逐步推上去，不难看出,在展开式中,除去1nj

11、n-1nj12na这一项外，其余项全是 0.而这一项的列指标所成的排列是一个偶排列，所以这一项带正号.结论得证.如果把一个行列式经过适当变换之后化为三角形,那么其结果即为行列式主对角线上元素的乘积.化三角形法是把原行列式化成上(下)三角形行列式或者对角形行列式计算的方法.一般来说,每个行列式都可以利用行列式的性质转化为三角形行列式.但是对于阶数高的行列式,在通常情况下,计算往往会比较繁琐.因此,在许多的情况下,总是首先利用行列式的性质将原行列式作为某种保值变形,然后再将其化为三角形行列式.任意一个 阶方阵总可以经过行列初等变换化成上(下)三角形矩阵 (证明见高等n 1代数 ).从而把行列式写成

12、上(下)三角形行列式与一个数乘积的形式,其步骤如下:如368P果行列式的第一行第一个元素为零,首先可将第一行(列)与其他任一行(列)进行交换,使得第一行第一个元素化为不为零,然后把第一行的合适的倍数加到其他各行,使得第一列除了第一个元素之外其他元素全部为零,然后再用相同的方法处理除去第一行第一列余下的低阶行列式,依次化下去,直至化为上三角形行列式,此时行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘积. 例 1 计算下列行列式 . nabbDba 解 (1)()(1) 将 所 有 的 行 加 到 第 一 行 上n nbanb2016届本科生毕业论文611()babana 1100() ().0 nbaa

13、n nbaba 例 2 计算行列式 .1231452121nDnn 解 ()123 2310111 1nnn n 将 所 有 列 加 到 第 一 列 上1 0() ()-12 2nn n 第 一 行 的 （ ） 倍 加 各 行 上111(1)2110()()2.nnn 2.2 递推法定义 5 利用行列式性质,把一个 n 阶行列式表示成具有相同的结较低阶行列式的现行关系式,这种关系式被称为递推关系式.2016届本科生毕业论文7递推法是根据行列式构造特点,建立 与 (或者 )递推关系式,逐步推导nD1n+2D与下去,求出 的值 .也可以找到 与 , 的递推关系 ,然后利用 , 求出 的值.nDn1

14、 12n若 阶行列式 满足关系式.120nnabc则作特征方程.2x(5)若 ,则特征方程有两个不等根,则 .240bac12nDAxB(6)若 ,则特征方程有重根 ,则12x1nn在(5),(6)中, 均为待定系数,可令 求出.AB， ,n例 3 计算行列式 .001001 解 按第一行展开,得 n12()nnDD由此递推,得出 . (7)1nn因为 中 与 对称,则有 . (8)nD1nn当 ,由(7),(8)得 .1n当 ,112()nnn nD2 1().nD2.3 降阶法定义 6 在行列式)2016届本科生毕业论文81111jniijinnjnaaaa 中划去元素 所在的第 行与 列

15、, 剩下的 个元素按原来的排法构成一个 级的ijaij2)i（ 1n行列式 11,1, 1, ,1111,jjniijijinnnjnjaaaa 称为 的余子式,记为 .而 称为 的代数余子式.ijaijM()iijijAi推论 1 设 为 阶行列式,则5nijD.121,2iiinaaAn 或 .,njjjA 其中 为 中的元素 的代数余子式.ijAnDija降阶法亦称为按行(列)展开法.即按照某一行(列)展开行列式,即可以使得行列式降一阶.依次进行下去,直至化为二阶或者三阶行列式,可直接计算结果.如果行列式中的零元素比较多,我们则可以按照某一行(列)展开计算.若是行列式比较复杂,为使得计算比较简单,我们可以根据行列式的特点,首先利用行列式的性质将行列式进行化简,使得行列式中有较多的零元素出现,然后再展开.例 4 计算下列行列式 .201318920276198321D