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第23讲 数学:线性代数(一)(2011年新版).doc

1、联系 QQ1165557537线性代数一、n 阶行列式(一)n 阶行列式的定义设有 n2个数 aij( i = 1 , 2 , ,n ;j 1 , 2 , ,n) ,记号称为 n 阶行列式。行列式( 1-8-1 )也简记作 D n或(a ij)把 所在的第 i 行和第 j 列划去,剩下一个 n-1 阶行列式ijaMij称为 D n的对应于元素 a ij 的余子式。令Aij称为 D n的对应于元素 a ij 的代数余子式。每个 n 阶行列式都对应一个数,这个数称为该行列式的值。记号( 1-8-1 )既表示行列式,又表示行列式的值。行列式的值用数学归纳法定义为按此定义即有1 阶行列式2 阶行列式3

2、 阶行列式计算 2 阶和 3 阶行列式的值时,有“对角线法则” :2 阶行列式时,即把 a11 a 22的连线称主对角线, a12 a21 的连线称次对角线。主对角线上各元素的乘积冠, “ + ”号,次对角线上各元素的乘积冠“”号,然后作代数和,所得结果即为 2 阶行列式的值。3 阶行列式时,主对角线上各元素的乘积冠, “ + ”号,次对角线上各元素的乘积冠“”号,然后作代数和,所得结果即为 3 阶行列式的值。(二)行列式的性质2. 互换行列式中的两行(列) ,则行列式的值变号。 3. 行列式中任一行(列)的元素与它对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。式( 1-82 )称为行列式按第 i

3、 行展开公式和按第 j 列展开公式。4. 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)的对应元素上,行列式的值不变。例如以数 k 乘第 i 行加到第 j 行上,有5. 行列式中如果有两行(列)的元素相同,则行列式的值为 0。6. 行列式中任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于 0。即7. 以数 k 乘行列式的某一行(列)的所有元素,等于 k 乘这个行列式。 8. 行列式中如果有两行(列)的元素对应成比例,则行列式的值为 0。9. 如果行列式中某行(列)的元素都表为两数之和,例如第 k 行的元素都是两数之和:则 D 等于下列两个行列式之和:(三)计算 2 阶和 3 阶行列式的值常用对角线法则,计算 n 阶(n4 )行列式的值常用下述两种方法:1 应用性质 7 ,把主对角线以下的元素全化为 0 ,成为上三角行列式它的值等于 b 11b22bnn 2 选定一行(列) ,把该行(列)除一个非零元素外其余,n-1 个元素全化为 0,然后按这一行(列)展开公式(1-8-2),就把行列式降为 n-1 阶行列式。(四)例题

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