1、联系 QQ1165557537（四）最大值最小值问题设 f （ x ）在闭区间 a , b 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求 f （x）在 a ，b上的最大值与最小值的一般方法：设 f （ x ）在（ a , b ）内的驻点及不可导点为 x 1， , x n，则比较的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。（五）例题【解】 属 型， 运用罗必塔法则，得0【 解 】 属 型，运用罗必塔法则，得【 解 】 属 0 型，通过变形化为 ，然后运用罗必塔法则，得。【 解 】 属 00型，先取对数，求 ：0limsnlx于是【 例 1 - 2 -37 】 已知函数 y = f
2、 （ x ）对一切 x 满足 xf （ x ） + 3x f （ x ） 2 = 1 - ，若 f （ x 0） = 0 （x 0 0 ） ，则xl （ A ） f （ x o ）是 f （ x ）的极大值（ B ）f（ x o ）是 f （x）的极小值（ C ） （ x o , f （x 0） ）是曲线 y= f （ x ）的拐点 （ D ） f （x 0）不是 f （ x ）的极值， （x 0 , f （ x o ） ）也不是曲线 y f（ x ）的拐点【 解 】 x x 0是 f （ x ）的驻点，又 f （ x 0） = 0, 故 f （x 0）是 f 001()xl（ x ）的极小值
3、，应选（ B ） 。【 例 l-2-38 】 求函数 y = 2 x 3 + 3 x2 - 12x + 14 在 -3 , 4 上的最大值与最小值。【解】 f （ x ）=2x 3 + 3x2 12x +14 , f （x ） = 6x 2+6x 12 = 6 （x + 2） （ x -1） 。令f （x） = 0, 得 x1= -2, x 2= 1.算出 f （ -3 ） = 23, f （ - 2 ） = 34 , f （ 1 ） = 7 , f （4） = 142, 故最大值为 f （4 ） = 142 ,最小值为 f （1） = 7 。【例 l -2- 39 】 函数 f （x） =
4、asin x + sin3 x 在 x = 处取得极值, a 的值应为133（ A ）-2 （ B ） 2 （ C ） 3（ D ） - .【解】 按可导函数取得极值的必要条件： f（ x 0）= acosxo + cos3x0 = 0 ,代人 x0 = ，便得 a = 32 ，故选（ B ） 。【例 1 -2 - 40】 若 f （x）在（ a , b ）内满足 f （ x ） 0 ，则曲线 y = f （x）在（ a , b ）内是 （ A ）单调上升且是凹的 （ B ）单调下降且是凹的 （ C ）单调上升且是凹的 （ D ）单调下降且是凸的 【 解 】 由 f （x ）0 及函数单调性的
5、判定法， 知曲线是单调下降的。又由 f “ （x） 0 及曲线凹凸性的判定法，知曲线是凹的，故选（ B ） 。六、偏导数全微分（一）偏导数与全微分1 偏导数概念函数 z = f（ x,y ）对 x、y ,的偏导数依次记作 （或 fx（ x ,y ） ） ， （或 fy , （ x, zzy ） ） ，它们的定义如下：类似地，可以定义三元函数 f （ x , y , z ）的偏导数 fx（x， y , z ） 、f y（ x , y ，z） 、f z（ x , y ，z）等.按定义，偏导数的求法仍属一元函数微分法的问题。2 多元复合函数的求导法则设 u = （ x ，y） 、 v （ x ，y）
6、均具有偏导数，而 zf（u ， v ）具有连续偏导数，则复合函数 z f （ x ，y） ， （ x ，y） 的偏导数存在，且上面这一求导法则，简称为 2 2 法则或标准法则。从这标准法则的公式结构，可得它的特征如下： 由于函数 z = f （ x ，y） ， （ x ，y） 有两个自变量，所以法则中包含 及zx的两个偏导数公式。y 由于函数的复合结构中有两个中间变量，所以每一偏导数公式都是两项之和，这两项分别含有及 。zuv 每一项的构成与一元复合函数的求导法则相类似，即“因变量对间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数” 。由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪
7、些是中间变量，哪些是自变量。为直观地显示变量之间的复合结构，可用结构图（或称树形图） 1-2 -1 来表示出因变量 z 经过中间变量 u 、 v 再通向自变量 x 、 y 的各条途径。按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广。如，特别当有一个自变量，u （x ） , v （ x ） , z = f （ u , v ）时，由于函数 z = f （x ） ， ） ， （ x ） 只有一个自变量，偏导数变成导数（这时称为全导数） ；函数复合结构中有两个中间变量，所以全导数公式中是两项之和；每项构成与一元复合函数求导法则类似。于是，有全导数公式又如， u （x ，y） ， v （y） ， z = f （ u , v ） ，复合函数 z =f （x ，y）, （ y） 的结构图如图 1-2 - 2 所示。类似地依以上分析，则有
