第100讲 理论力学：运动学(三)(2011年新版).doc

1、联系 QQ1165557537三、点的合成运动点的合成运动这部分内容，主要是应用运动的合成与分解的概念，研究同一动点相对于两个不同参考系的运动之间的关系。从而建立了点的速度合成定理和加速度合成定理。（一）静系动系固结于某一参考体上的坐标系 Oxyz 称为静坐标系，简称静系。通常如不加说明，则以固结于地球表面上的坐标系作为静系。固结于相对静系运动的参考体上的坐标系 Oxyz称为动坐标系，简称动系。（二）三种运动三种速度三种加速度动点相对于静系的运动称为绝对运动。在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的相对轨迹、相对速度和相对加速度，并以 va 和 aa 分别表示此速度和加速度。动系相对静系的运

2、动称为牵连运动。在某一瞬时，动系上与动点相重合的一点称为动点在此瞬时的牵连点。牵连点的速度和加速度称为动点在该瞬时的牵连速度和牵连加速度，并分别以 vr 和 ar 表示之。上述三种运动的关系如图 428 所示。即动点的绝对运动可视为相对运动与牵连运动的合成运动。反之，动点的绝对运动也可分解为牵连运动和相对运动。（三）点的速度合成定理可以证明，动点的三种速度 va，v e，v r之间有如下关系式：va=ve+vr即动点的绝对速度等于它的牵连速度和相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。根据此定理可知 va，v e，v r 构成一速度平行四边形，其对角线为绝对速度 va。由于每个速度矢量包含大小

3、和方向二个量，因此上式总共含有六个量，当已知其中任意四个量时，便可求出其余两个未知量。应当指出，由于存在相对运动，所以不同瞬时，动系上与动点相重合的那一点即牵连点，在动系上的位置也随之而变化的。（四）点的加速度合成定理动点的加速度合成与牵连运动的性质有关，当牵连运动为平动或转动时，动点的加速度合成定理如下：牵连运动为平动：aa=ae+ar牵连运动为转动：aa=ae+ar+ak式中 ak 称为科氏加速度。它是由于牵连运动与相对运动相互影响而产生的。a k 的矢量表达式为ak=2vr其中 为动系的角速度矢。设 与 vr 间的夹角为 (图 429)，则 ak 的大小为 ak=2vrsinak 的指向

4、由 与 vr 的矢积确定。对于平面机构，因 aa、a e、a r 和 ak 等各加速度矢都位于同一平面中，所以运用加速度合成定理只能求解大小或方向共两个未知量。由于 aa 或 ae 或 ar 都可能存在切向与法向两个加速度分量，因此在求解中，常应用合矢量投影定理进行具体计算。（五）应用速度或加速度合成定理解题的一般步骤和方法1分析机构的运动情况，根据题意适当地选取动点、动系和静系。它们的选取方法，一般可从两个方面来考虑：其一，动系相对静系有运动，动点相对动系也有运动；其二，除题意特别指明动系或动点外，尽可能使选取的动点对动系有明显而简单的相对运动轨迹。在一般机构中，通常可选取传递运动的接触点为

5、动点，与其邻接的刚体为动系。2分析绝对运动、相对运动和牵连运动。绝对运动和相对运动都是指动点的运动。在相对运动的分析中，可设想观察者站在动系上，观察到的动点运动即为它的相对运动。而牵连运动是指动系的运动，也就是固结着动系的刚体相对静系的绝对运动。3根据题意，分析动点的各种速度或加速度，并图示速度或加速度矢量图。动点的 va、a a 和 vr、a r一般可以根据其绝对运动和相对运动进行分析。而在分析 ve 和 ae 时，关键在于明确该瞬时牵连点的位置，然后根据动系运动性质分析牵连点的速度和加速度，亦即动点的牵连速度 ve 和牵连加速度 ae；或可以认为动点暂不作相对运动，而把它固结在动系上，则动

6、点随动系运动的速度和加速度即为 ve 和 ae另外，在动点的各加速度分量中，当牵连运动为平动时，不含有科氏加速度 ak。4根据速度和加速度合成定理求解。(1)运用 ae=ve+vr，求解未知量时，一般可应用半图解法，即作出速度平行四边形，然后根据图示的几何关系求得待求量。(2)应用加速度合成定理时，首先要区分牵连运动是平动还是转动，然后列出相应的矢量式，即aa=ae+ar，或 aa=ae+ar+ak，因在最一般情况下，加速度合成定理可写为所以，通常应用合矢量投影定理进行具体计算。不过，应当防止类似于ax=0 或“已知矢量投影=未知矢量投影 ”等这类错误出现。（六）例题例 4-24 曲柄 OA

7、长为 r，以匀角速度 绕轴 O 逆时针向转动，从而通过曲柄的 A 端推动滑杆BC 沿铅直方向上升，如图 4210 所示。求当 =60时，滑杆 BC 的速度和加速度。解 取 OA 上的 A 点为动点，滑杆 BC 为动系。动点 A 的绝对运动是圆周运动；相对运动是水平直线运动；牵连运动是滑杆 BC 的平动。动点 A 的速度和加速度矢量图如图 4210 所示。由图 4210 所示的速度和加速度平行四边形，得滑杆 BC 的速度 v 和加速度 a 的大小为方向如图示。本题若取滑杆上的 A1 点为动点，OA 杆为动系。则 A1 点的相对轨迹显然不是一条水平直线。我们可以这样思考，设杆 OA 不转动，仅 B

8、C 杆运动，则 A1 点相对杆 OA 作铅垂直线运动；反之，若扦BC 不动，仅 OA 杆转动，则 A1 要相对杆 OA 作顺时针向的圆周运动。实际上，杆 OA 与 BC 同时在运动，故 Al 点相对杆 OA 的相对运动应是铅垂直线运动和圆周运动的合成运动，即相对轨迹为一平面曲线，故在加速度计算中，除多一项 ak 外，还因相对轨迹未知，造成了 arn 的计算困难。这就表明，若以不恒是运动过程中的接触点 A 为动点，则将给求解带来不便。例 425 图示平面机构中，杆 AB 以匀速 u 沿水平方向运动，并通过滑块 B 推动杆 OC 转动。试求 =60时，滑块 B 相对杆 OC 的加速度和杆 OC 的

9、角加速度。解 取滑块 B 为动点，杆 OC 为动系。动点的绝对运动是水平直线运动；相对运动是沿杆 OC 的直线运动；牵连运动是杆 OC 绕轴 O 的转动。动点 B 的速度分析如图 4-2-11 所示。由图示的几何关系，得因 OB=bsina，则 =600 时，杆 OC 的角速度为转向顺着 ve 的指向，如图 4211 所示。根据牵连运动为转动时点的加速度合成定理，可作出动点 B 的加速度矢量图如图 4212 所示。因 aa=0，故得式中将上述矢量式分别向 x 轴和 y 轴投影，得由此可解得杆 OC 的角加速度 和 ar 分别为应当注意，图中标示的 转向要与 ae 的指向保持一致，故 得负值，表示与图示的 转向相反，即为逆时针转向。若将角 视为变量，求 vr 和 对时间的一阶导数，则亦可解得 ar 和 ，即因 的转向与 正向相反，故有 ddt=，将此关系式和 =600 代入以上二式，则得这里 ar 取正值，表示与 vr 方向一致； 取负值，表示与 转向相反。此结果与上述结果相同。注意，关系式 ae=dve/dt 是不成立的。因 ve=usin 是反映了不同瞬时的牵连点的速度与角 的函数关系，并不表示图示瞬时牵连点的速度的函数关系，故 dvedt 不是图示瞬时牵连点的切向加速度。但当牵连运动是平动时，a e=dve/dt 是成立的。其理由请读者自行思考。