第106讲 理论力学动力学(五)(2011年新版).doc

1、联系 QQ1165557537五、达朗伯原理 达朗伯原理是一种解决非自由质点系动力学问题的普遍方法。这种方法将质点系的惯性力虚加在质点系上，使动力学问题可以应用静力学写平衡方程的方法来求解，故称为动静法，动静法在工程技术中得到广泛的应用。（一）惯性力 当质点受到其他物体的作用而改变其原来运动状态时，由于质点的惯性产生对施力物体的反作用力，称为质点的惯性力。惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，并作用在施力物体上。惯性力的表达式为（二）达朗伯原理在非自由质点 M 运动中的每一瞬时，作用于质点的主动力 F、约束反力 N 和该质点的惯性力 FI 构成一假想的平衡力系。这

2、就是质点达朗伯原理，其表达式为在非自由质点系运动中的每一瞬时，作用于质点系内每一质点的主动力 Fi、约束反力 N，和该质点的惯性力 FiI 构成一假想的平衡力系。这就是质点系达朗伯原理。即（三）刚体运动时惯性力系的简化对刚体动力学问题，可以将刚体上每个质点惯性力组成惯性力系，用力系简化的方法，得出简化结果。这些简化结果与刚体的运动形式有关。具体结果见表 4-3-9。（四）动静法根据达朗伯原理，在质点或质点系所受的主动力、约束反力以外，假想地加上惯性力或惯性力系的简化结果，则可用静力学建立平衡方程的方法求解动力学问题，这种求解动力学问题的方法称为动静法。必须指出，动静法只是解决动力学问题的一种方

3、法，它并不改变动力学问题的性质，因为惯性力并不作用在质点或质点系上，质点或质点系也不处于平衡状态。动静法中“平衡”只是形式上的平衡，并没有实际意义。应用动静法列出的平衡方程，实质上就是运动微分方程。（五）例题例 4313 长方形匀质薄板重 W，以两根等长的软绳支持如图 4337 所示。设薄板在图示位无初速地开始运动，图中 =30。求此时绳子中的拉力。解(1)对象 以平板的为研究对象。(2)受力分析 运动开始时板受重力 w、软绳约束反力 T1、T2。(3)运动分析并虚加惯性力。由约束条件知平板作平动，在运动开始时板上各点法向加速度为零，切向加速度垂直于软绳，大小a=aA=aB=aC=l， 为软绳

4、的角加速度，于是平板惯性力的合力加于质心 C 上。如图 4337 所示。(4)选坐标系，列方程求解。作用于板上的主动力 W，约束反力 T1、T 2 及虚加的惯性力 RI 构成平面平衡力系。根据动静法列方程。从此可求得 T1、T2 及以及 RI，从 RI 可得到薄板运动的加速度。今设 c=2b W=1kN，从式(2)，得到并得到板的加速度代入式(1)，解得从式(3)可得七、单自由度系统的振动（一）自由振动仅受恢复力(或恢复力矩)作用而产生的振动称为自由振动1振动方程振动特性一悬挂质量弹簧系统，现取系统静平衡位置为坐标原点 O，建立坐标轴 x，则以 x 为独立参数的振体自由振动的运动微分方程、振动

5、方程、特性参数等列于表 4-3-11 中。自由振动特性小结：(1)由运动方程 x=Asin(pt+)可见，系统在恢复力作用下的自由振动是简谐振动。(2)自由振动的固有圆频率 p 仅决定系统本身的基本参数：质量 m 和弹簧的刚性系数 k。而与运动的初始条件无关。(3)自由振动的振幅 A 和初位相 都由运动的初始条件 xo、vo 来决定。2振动系统固有圆频率的计算(1)直接法：质量一弹簧系统，设已知质量 m 和弹簧刚性系数 k，直接代入公式 mkp即可求得。(2)平衡法：质量一弹簧系统，在乎衡时 kst=P=mg，st 是静变形，即 k=P/st=mg/st 故：(3)列出系统的运动微分方程，化为

6、标准形式如即可得到式中 meq等效质量，表示系统的惯性。keq等效刚性系数，表示系统的弹性。q系统的广义坐标。(4)能量法T+V=C 或 Tmax=Vmax式中 T 为动能，V 为势能。3，并联或串联弹簧的当量刚性系数(等效刚度)并联：串联：（二）强迫振动由干扰力引起的振动，称为强迫振动。若干扰力随时间而简谐变化，则称为谐扰力，其可表为 S=Hsint。现以系统的平衡位置为坐标原点，以坐标 x 为独立参数，将受谐扰力作用下的强迫振动的主要内容列于下表。表中020,BphmHh表示系统在干扰力的最大幅值 H 静止作用下所产生的偏移；z=/p 称为频率比；n 称为阻尼系数，=n/p 称为阻尼比。强

7、迫振动特性小结：(1)强迫振动的频率与干扰力的频率相同，与系统的固有圆频率 p 无关，且不受阻尼影响。(2)在有关参数 p、n 、h 确定后，振幅 B 是一个常数，强迫振动是一个等幅的简谐振动，不会因阻尼而衰减。(3)在有阻尼的情况下，强迫振动总是滞后于干扰力一个位相差 。(4)强迫振动的振幅 B 与位相差 ，都与运动的初始条件无关。（三）例题例 4-3-19 图 4-3-54 所示的悬臂梁，在自由端上挂一弹簧，弹簧上悬挂一重 P 的 物体。设在力 P 作用下弹簧的静伸长为 st，梁的自由端的静挠度为 fst。如给重物一初速度 v0，试求重物的自由振动方程。梁和弹簧的质量均忽略不计。解 悬臂梁

8、对物体的作用相当于一弹簧，根据悬臂梁端点的静挠度 fst 可算出此梁 在端点沿铅垂方向的刚性系数为类似地，可算出悬挂弹簧的刚性系数为于是，图 4354(a)所示振动系统可以抽象为图 4354(b)所示的串联弹簧系统。又因串联弹簧可用一等效弹簧来替代，其当量刚性系数为最终该系统可简化为图 4354(c)所示的质量弹簧系统。现以此力学模型进行求解。(1)对象。取重物为研究对象。(2)运动分析：重物由于初始干扰，沿铅垂方向作自由振动。为了简便，选取重物的静平衡位置 O 为坐标原点，x 轴向下为正。t=0 时 x0=0， 0vx。(3)受力分析。通常，将重物放在 x 轴正向的任一位置上进行受力分析。作用其上的力有重力 P 和弹性力 F，力F 在 x 轴上的投影为(4)列运动微分方程，并求解振动规律。由 F=ma 得因重物处于静平衡位置时，重力 P 与静变形引起的弹性力 F0 平衡，即有故上式可简化为即式中由表 4311 所示的公式，可知式(3)的通解为根据初始条件 x0=0， 0vx，可分别求得振幅 A 及初位相 为此重物的自由振动方程可表示为=20(+) +