1、6数列(含解析)一、选择题【2017,4】记 nS为等差数列 na的前 项和若 452a, 648S,则 na的公差为( )A1 B2 C4 D8【2017,12】几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,2 1,再接下来的三项是 20,2 1,2 2,依此类推求满足如下条件的最小整数 N:N 100 且该数列的前 N 项和为 2的整数幂那么该款软件的激活码是( )A44
2、0 B 330 C220 D110【2016,3】已知等差数列 na前 9项的和为 27, 810a,则 10( )A 10B C D 9【2013,7】设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sm1 2,S m0,S m1 3,则 m( ) A3 B4 C5 D6【2013,12】设A nBnCn的三边长分别为 an,b n,c n, AnBnCn的面积为 Sn,n1,2,3,.若b1c 1,b 1c 12a 1,a n1 a n,b n1 ,c n1 a,则( ) A Sn为递减数列 BS n为递增数列CS 2n1 为递增数列,S 2n为递减数列 DS 2n1 为递减数列,S 2n为递
3、增数列【2013,14】若数列a n的前 n 项和 3nSa,则a n的通项公式是 an_【2012,5】已知 为等比数列, 47, 568,则 10( )A7 B5 C 5 D 7二、填空题【2016,15】设等比数列 na满足 1031, 42a,则 12naL的最大值为 【2012,16】数列 满足 ,则 的前 60 项和为_()nn三、解答题【2015,17】 nS为数列 na的前 项和已知 na0, 243nnaS()求 n的通项公式;()设 1nb,求数列 nb的前 项和【2014,17】已知数列 na的前 项和为 nS, 1a=1, 0n, 1nnaS,其中 为常数()证明: 2
4、n;()是否存在 ,使得 为等差数列?并说明理由【2011,17】等比数列 na的各项均为正数,且 21362,9.aa()求数列 n的通项公式;( )设 31323logl.log,n nb求数列 1nb的前 n 项和6数列(解析版)一、选择题【2017,4】记 nS为等差数列 na的前 项和若 452a, 648S,则 na的公差为( )A1 B2 C4 D8(4)【解析】 451134ada, 6182Sad,联立求得127465da3 得 2, 2, 4 ,选 C;【2017,12】几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激
5、活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,2 1,再接下来的三项是 20,2 1,2 2,依此类推求满足如下条件的最小整数 N:N 100 且该数列的前 N 项和为 2的整数幂那么该款软件的激活码是( )A440 B 330 C220 D110【解析】设首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推设第 n组的项数为 n,则 组的项数和为1n,由题, 10N,令102n 4n 且 *N,即 N出现在第 13 组之后,第 组的和为21n, 组总共
6、的和为2n,若要使前 项和为 2 的整数幂,则N项的和 1k应与 2n互为相反数,即 *2114knk, , 2log3kn, 95, ,则912540N,故选 A;【2016,3】已知等差数列 na前 9项的和为 7, 810a,则 10( )A 10B C D 9【解析】由等差数列性质可知: 195927S,故 53a,而 108,因此公差105ad 108ad故选 C【2013,7】设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sm1 2,S m0,S m1 3,则 m( ) A3 B4 C5 D6解析:S m1 2,S m0,S m1 3,a mS mS m1 0(2)2,a m1 S
7、m1 S m303.da m1 a m321. S mma 1 10, 2.又a m1 a 1m13, 132m. m 5.故选 C.【2013,12】设A nBnCn的三边长分别为 an,b n,c n, AnBnCn的面积为 Sn,n1,2,3,.若b1c 1,b 1c 12a 1,a n1 a n,b n1 ,c n1 2a,则( ) A Sn为递减数列 BS n为递增数列CS 2n1 为递增数列,S 2n为递减数列 DS 2n1 为递减数列,S 2n为递增数列答案:B【2013,14】若数列a n的前 n 项和 3nSa,则a n的通项公式是 an_.解析: 13S, 当 n2时, 1
8、13S.,得 12nna,即 1na2,a 1S 1 2,a 11.a n是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,a n(2) n1 .【2012,5】已知 n为等比数列, 47, 568,则 10( )A7 B5 C 5 D 7【解析】因为 na为等比数列,所以由已知得 475628a,解得 472a或 47,所以 132q或138,因此 1091()q,故选择 D二、填空题【2016,15】设等比数列 na满足 31, 542a,则 12naL的最大值为 【解析】由于 n是等比数列,设 1naq,其中 1是首项, q是公比21313240055aaq,解得:82故42na,32.4121.
9、 nna2117497nn,当 n或 4时, 1794n取到最小值 6,此时21749n取到最大值 62所以 12.na的最大值为 64【2012,16】数列 满足 ,则 的前 60 项和为_na1()nnna【解析】因为 ,所以 21, 32, 435a, 47,1()659a, 76, 587a, 5981, 6091由 21a, 32可得 13a;由 659, 76可得 57;由 58713a, 5981a可得 5792a;从而 13737579()()()21530a 又 2, 43, 65, 5813, 60,所以 60139()() 214365605)(aaa 7 318702从
10、而 60 13917 300因此 6012345960S 359246()()aa 38三、解答题【2015,17】 nS为数列 na的前 项和.已知 na0, .2nnaS()求 n的通项公式;()设 1nb,求数列 nb的前 项和.解:()当 1时, 2143+aSa,因为 0n,所以 1a=3,当 2n时, 2nn= 1nn= 4,即 11()()2()nnna,因为 0a,所以 1,所以数列 n是首项为 3,公差为 2的等差数列,且 na= 2.()由()知, nb= 1()()33,则数列 nb前 项和为12nb= 1() 3572n = 164.【2014,17】已知数列 na的前
11、 项和为 nS, 1a=1, 0n, 1nnaS,其中 为常数.()证明: 2n;()是否存在 ,使得 为等差数列?并说明理由.【解析】:()由题设 1nn, 121nn,两式相减12nnaa,由于 0,所以 a 6 分()由题设 1=1, 21S,可得 21,由 ()知 31a假设 n为等差数列,则 3,成等差数列, 32,解得 4;证明 4时, na为等差数列:由 24na知数列奇数项构成的数列 21m是首项为 1,公差为 4 的等差数列 2143ma令 21,n则 , n()数列偶数项构成的数列 2ma是首项为 3,公差为 4 的等差数列 2m令 ,则 n, 1n(2) 21na( *N) , n因此,存在存在 4,使得 a为等差数列. 12 分【2011,17】等比数列 n的各项均为正数,且 21362,9.aa()求数列 na的通项公式;( )设 31323logl.log,n nb求数列 1nb的前 n 项和.解:(I)设数列 n的公比为 q. 由 2369a得 2349a,所以 219q. 由条件可知 0q,故 1. 由 12得 1,所以 13a. 故数列 na的通项公式为 3na. (II) 3132logllogn nb 1122n . 故 12nn,12 11231n nbbn 所以数列 n的前 项和为 n.
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