高考热点题型《解析几何》.doc

1、- 1 -AGEMoyxx2=4y高考热点题型解析几何高考三年来风格特点（1）表现形式上是多曲线综合；（2）圆锥曲线重在定义、标准方程和几何性质；（3）核心是直线和圆的位置关系；（4）方法上强调：数形结合的思想方法、方程思想、待定系数法；（5）能力上要求：图形探究能力、逆向探究能力、运算求解能力、阅读理解能力.参考题目：1.设动点 (,)0Pxy到定点 F(,1)的距离比它到 x轴的距离大 1，记点 P的轨迹为曲线 C.（1）求点 的轨迹方程；（2）设圆 M过 A(,2)，且圆心 M在曲线 C上， EG是圆 M在 x轴上截得的弦，试探究当 运动时，弦长 EG是否为定值？为什么？解：（1）依题意

2、知，动点 P到定点 F(0,1)的距离等于 P到直线 1y的距离，曲线 C是以原点为顶点， (,)为焦点的抛物线2 分 12p 2p 曲线 C方程是 4xy4 分（2 ）解法 1：过点 M 作轴的垂线，垂足为 D,则点 D 平分 EG, 设圆心为 (,)Mab，则2222|()DGAab24ab, 24|,|4E, 即当 运动时，弦长 EG为定值 4.解法 2：设圆的圆心为 ()，圆 M过 A(0,)，圆的方程为 222()()xayba 7 分令 y得： 40 设圆与 x轴的两交点分别为 1(,)x， 2,)- 2 -方法 1：不妨设 12x，由求根公式得1246abx，22416abx10

3、 分 2121又点 (,)Mab在抛物线 24xy上， 24ab， 126x，即 EG4-13 分当 运动时，弦长 为定值 414 分方法 2： 12xa， 124xb 1()()22()4)16aab又点 ,Mb在抛物线 2xy上， ， 2()x 124x当 运动时，弦长 EG为定值 42已知双曲线 21:(0)Cxym与椭圆2:xyCab有公共焦点 12,F，点(,1)N是它们的一个公共点.（1 ）求 2,的方程；（2 ）过点 F且互相垂直的直线 12,l与圆 22:(1)Mxy分别相交于点 ,AB和,CD，求 |AB|的最大值，并求此时直线 l的方程.解：（1）点 (,1)是双曲线 1:

4、0Cym上的点， 2()1m.双曲线 2:xy，从而 2(,)(,)F， 2ab，且 .又点 (,)N在椭圆上，则 2ab由得 24,ab，所以椭圆的方程为214xy.（2）设圆 M的圆心为 ， 1l、 2被圆 M所截得弦的中点分别为 FE,，弦长分别为 21,d，因为四边形 AECF是矩形，所以 223EF,即212443dd，化简得 120d从而 12120，等号成立 12d，0时， max()，即 1l、 2被圆 C所截得弦长之和的最大值为 .- 3 -3如图，F 是椭圆的右焦点，以 F 为圆心的圆过原点 O 和椭圆的右顶点，设 P 是椭圆的动点，P 到两焦点距离之和等于 4.（）求椭圆

5、和圆的标准方程；（）设直线 l的方程为 4,xPMl，垂足为 M，是否存在点P，使得 为等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.解：（）由已知可得 24,a2c22,13abac椭圆的标准方程为 13xy，圆的标准方程为 2()1xy（）设 (,)P，则 (4,),0MF ,xy在椭圆上213xy2234x22222|(1)()()F|4|PMx 914yx |,|,2PFM（1 ）若 |则 |这与三角形两边之和大于第三边矛盾 |PF（2 ）若 |,则 223(4)1xx，解得 4或 7x |x 7 57y 3(,15)P综上可得存在两点 4315(,)， 31(,)使得P

6、FM 为等腰三角形.4. 已知动圆过定点 0,2N，且与定直线 :2Ly相切.（I）求动圆圆心的轨迹 C的方程；（II）若 A、 B是轨迹 C 上的两不同动点，且 ANB. 分别以 A、 为切点作轨迹C 的切线，设其交点 Q，证明 B为定值.解：（I）依题意，圆心的轨迹是以 (0,2)为焦点， :2Ly为准线的抛物线上2- 4 -分因为抛物线焦点到准线距离等于 4 所以圆心的轨迹是 28xy（II）解法一：由已知 (0,2)N，12 12(,)(,).(,)(,),AxyBABxyx设 由 即 得故 12()2y将（1）式两边平方并把 21218, yyx代 入 得 （3 ）解（2） 、 （3

7、 ）式得 21y，且有 .6821x8 分抛物线方程为 4,xyy求 导 得 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 ,)(1)(4221xy 2,.88yx即 12112(,)(,)8xxQ解 出 两 条 切 线 的 交 点 的 坐 标 为11 分,)4,2( 2121 yxABNO所 以 0)81(4221x所以 为定值，其值为 0. 13 分解法二：由已知 N（0，2 ）1(,)(,).,AxyBANB设 由 知 三 点 共 线 ,直 线 与 轴 不 垂 直 :2.ykx设2,1.8ykx由 可 得 28160， 1628 分后面解法和解法一相同O xyA BGHQM P- 5 -

8、5已知圆 O： 82yx交 x轴于 BA,两点，曲线 C是以 AB为长轴，直线：4x为准线的椭圆（1 ）求椭圆的标准方程；（2 ）若 M是直线上的任意一点，以 OM为直径的圆 K与圆 O相交于 QP,两点，求证：直线 PQ必过定点 E，并求出点 的坐标；（3 ）如图所示，若直线 PQ与椭圆 C交于 HG,两点，且 E3，试求此时弦的长解：（）设椭圆的标准方程为 210xyab，则：24ac，从而： 2ac，故 2b,所以椭圆的标准方程为2184xy（）设 (,)Mm，则圆 K方程为 22mxy与圆 2:8Oxy联立消去 2,xy得 PQ的方程为 480y， 过定点 ,0E。 （）解法一：设 1

9、2,GxyH，则218xy, 3E， 12,3,，即： 123xy 代入解得：283xy（舍去正值） ， 1PQk，所以 :20xy，从而圆心 0,O到直线 PQ的距离 12d，从而 26PRd。 解法二：过点 ,GH分别作直线 l的垂线，垂足分别为 ,GH，设 PQ的倾斜角为 ，则：,22Eee，从而 2,2E， - 6 -由 3EGH得： 3E， 2cosGHE，故 4，由此直线 PQ的方程为 20xy，以下同解法一。 解法三：将 :48m与椭圆方程2184xy联立成方程组消去 x得：223160my,设 12,GyH，则 212664,33my。FGH， 2,3,xx，所以 1y代入韦达定理得：2284,3yym， 消去 得： 216， ，由图得： 4m， 所以 :0PQxy，以下同解法一.