1、数学社活动材料（平面几何）第一讲 内心与旁心一内心的基本性质1.为何三条角分线会交于一点？为何内心为三角形内切圆圆心？2.有关内心的角度、边长计算和关系3.与内心相关的等价性质二旁心的基本性质1.有关旁心的角度、边长计算与关系2.角度、长度与内心的关系3.旁心的等价性质三有关内心的小模型：模型 1：在三角形 ABC 中，I 为内心，内切圆与边 AB、AC 切于点 F、E,直线 BI 交 EF于点 G，则 GCGB 且 G 在平行于 AB 的三角形中位线上。练习 1-1：如图，在三角形 ABC 中，A=60，三角形 ABC 的内切圆 I 分别切AB、AC 于点 D、E，直线 DE 分别于直线 B
2、I、CI 交于点 F、G ，求证：2FG=BC练习 1-2：在三角形 ABC 中，已知 ABAC,内切圆圆 I 分别于 BC、CA、AB 切于点D、E、F,M 为边 BC 的中点，直线 EF 分别于 BI、CI 的延长线交于 P、Q ，且与三角形ABC 的外接圆交于点 R、S ,求证：QMR=PDS练习 1-3：在三角形 ABC 中，已知 ABAC,内切圆圆 I 分别与 BC、CA、AB 切于点D、E、F, M 为边 BC 的中点，AHBC 于 H，BAC 的平分线 AI 分别于直线DE，DF 交于点 K、L,证明：M、L、H、K 共圆模型 2：（鸡爪定理）：在三角形 ABC 中，I 为内心，
3、P 为三角形 ABC 关于A 的旁心，延长 AI 与三角形 ABC 外接圆交于点 D，则 B、C 、P、I 均在以 D 为圆心的圆上，该圆成为鸡爪圆。练习 2-1：设 N 为弧 BAC 的中点，M 为 BC 的中点，I 为三角形 ABC 的内心，求证：ANI=IMC 练习 2-2：已知在不等边三角形 ABC 中，三边 AB、AC、BC 的长度成等差数列，I、O 分别为三角形 ABC 的内心和外心，证明：（1）IOBI(2)若 BI 交 AC 于 K，D 、E为 BC、AB 的中点，则 I 为三角形 DEK 的外心模型 3：三角形 ABC 中，内切圆圆 I 切 BC 于点 D，D为 D 关于 I
4、 的对称点，延长AD交 BC 于点 K，则 BK=CD练习 3-1:已知三角形满足 AB+BC=3AC,I 为三角形内心，内切圆与边 AB、BC 的切点分别为 D、E，点 D、E 关于 I 的对称点为 K、L, 求证：A、C、K、L 共圆 四有关内心和旁心的其他题目1. 如图，在三角形 ABC 中，设 ABAC，过 A 做三角形外接圆切线 l，又以 A 为圆心，以 AC 为半径做圆，交 AB 于 D，交直线 l 于 E、F，证明：直线 DE、DF 分别过三角形 ABC 的一个内心和旁心2. 已知圆 O 为三角形 ABC 外接圆，圆 K 与圆 O 内切于 M，与 AB、AC 切于点E、F ，求证：三角形 ABC 的内心 I 线段 EF 的中点(曼恩海姆定理)3.（欧拉公式）求证 R2-2Rr=OI2,其中 R 为三角形外接圆半径，r 为三角形内切圆半径，O、I 分别为三角形的外心和内心。3. 如图，M、N 分别为锐角三角形 ABC(ACBC)外接圆上弧 BC、弧 AC 的中点过点 C 做 PCMN 交外接圆于 P, I 为三角形 ABC 的内心，连接 PI 交外接圆于T， （1）证明：MP*MT=NP*NT(2) 在弧 AB（不含点 C）上任取一异于 A、T、B的点，记三角形 AQC,QCB 的内心为 R、S ，证明：Q、R、S 、T 共圆
