三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】.doc

1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的x非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示： （1） 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上) ，注2()kZ意：相等的角的终边一定相同，终边相同的

2、角不一定相等.如与角 的终边相同，185且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（答： ； ）36（2） 终边与 终边共线( 的终边在 终边所在直线上) .()k（3） 终边与 终边关于 轴对称 .x2()kZ（4） 终边与 终边关于 轴对称 .y（5） 终边与 终边关于原点对称 .（6） 终边在 轴上的角可表示为： ； 终边在 轴上的角可表示为：x,y； 终边在坐标轴上的角可表示为： .如 的终边与 的,2kZ,2kZ6终边关于直线 对称，则 _。y（答： ）Zk,34、 与 的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 是第二象限角，2则 是第_ 象限角（答：一、三）5.弧长公式： ，扇形

3、面积公式： ，1 弧度(1rad) . |lR 21|2SlR573如已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。（答：2 ）2cm6、任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P 是 的终边上的任意一(,)xy点（异于原点） ，它与原点的距离是 ，那么 ，20rxysin,cosxrr， ， ， 。三角函数值tan,0yxcotxy(0)secrc0y只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。 如（1）已知角 的终边经过点 P(5，12)，则 的值为。osin（答： ） ；713（2）设 是第三、四象限角， ，则 的取值范围是_m432sin（答：（

4、1， ） ；)23（3）若 ，试判断 的符号0|cos|sin|)tan(cos)cot(si（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线 MP“站在 轴上(起点在 轴上)” 、余弦线 OM“躺xx在 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 处(起x 1,0)A点是 )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小A 和解三角不等式。如（1）若 ，则 的大小关系为08sin,cota_(答： )；tsinco（2）若 为锐角，则 的大小关系为,sia_（答： ） ；sinta（3）函数 的定义域是_)3sin2lg(co1xy（答： ）2(2,()3kkZ8.特殊角的三角函数值：30 45

5、60 0 90 180 270 15 75sin21230 1 0 1 64624co311 0 1 0 2tan1 30 0 2- 32+ 3cot31 0 0 2+ 2-9. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： 222222sincos1,tansec,1otcs（2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,（3）商数关系： iota,ti同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需

6、用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如y T A x BSOMP （1）函数 的值的符号为_sintacoy（答：大于 0） ；（2）若 ，则使 成立的 的取值范围是_20xx2cossin12（答： ） ；0,4,3（3）已知 ， ，则 _53sinm)(54cosmtan（答： ） ；125（4）已知 ，则 _； _1tancosin3cosisi2（答： ； ） ；35（5）已知 ，则 等于20si 60taA、 B 、 C、 D、1a21a21a21（答：B） ；（6）已知 ，则 的值为_xf3cos)()30

7、(sinf（答：1） 。10.三角函数诱导公式（ ）的本质是：奇变偶不变（对 而言，指 取奇数2kkk或偶数） ，符号看象限（看原函数，同时可把 看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成 2k + , ；(2)转化02为锐角三角函数。如（1） 的值为_97costan()si2146（答： ） ；23（2）已知 ，则 _，若 为第二象限角，则54)50sin( )270cos(_。18ta36co)0sin(2（答： ； ）5410311、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sinsincosinsin2icos令 22222cosco

8、ssincossinc1sitat +tan1 ossintanta1令 如（1）下列各式中，值为 的是A、 B 、5sinco221cosinC、 D、21ta. 30（答：C） ；（2）命题 P： ，命题 Q： ，则 P 是 Q 的tn()0tanABA、充要条件 B、充分不必要条件C 、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C） ；（3）已知 ，那么 的值为_35sin()cos()sin2cos（答： ） ；725（4） 的值是 _1308sini（答：4） ；(5)已知 ，求 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 ，乙求得ta0tan5 31a的结果是 ，对甲、乙求得的结果的正

9、确性你的判断是_21（答：甲、乙都对）12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ，()()2()()， ， 等） ，如2()()22（1）已知 ， ，那么 的值是_tan51tan()4tan()4（答： ） ；32（2）已知 ，且 ， ，求02129cos()23sin()的值cos()（答：

10、 ） ；4907（3）已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关系,sin,cosxycs()5yx为_（答： ）23431(1)5y(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值 sin50(13tan0)（答：1） ；（2）已知 ，求 的值co2,t(23tan(2)（答： ）8(3)公式变形使用（ 。如tantta1ta（1）已知 A、B 为锐角，且满足 ，则nn1AB_cos()（答： ） ；2(2)设 中， ， ，则此三角形是C3tantan34sinAco_三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式： ， 与升幂21scos21csi公式： ， )。如21coss1sin(1

11、)若 ，化简 为_3(,)2s（答： ） ；sin2（2）函数 的单调递增区间为_2553f(x)sincoxsx3(R)（答： ）512k,(kZ)(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1） tancosi)sintaco（答： ） ；sin（2）求证： ；21tansi1（3）化简：42cos2tan()i()xx（答： ）1cos2x(6)常值变换主要指“1”的变换（ 221sincox22setanttx等） ，如已知 ，求 （答： ）.tansi42 tai3cos35(7)正余弦“三兄妹 ”的内存联系“知一求二” ，如sinco ix、（1）若 ，则 _icxts

12、x（答： )，特别提醒：这里 ；21t2,t（2）若 ，求 的值。1(0,)sino2tan（答： ） ；473（3）已知 ，试用 表示 的值2sii1tank()42ksinco（答： ） 。1k13、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 角所在2sincoiaxbabx的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用。t如（1）若方程 有实数解，则 的取值范围是_.sin3cosxc（答：2,2） ；（2）当函数 取得最大值时， 的值是_2yinxtanx(答： )；32（3）如果 是奇函数，则 =si2cos()fxt(答：2)；（4）求值： _0in640s

13、1sin3222(答：32)14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 和余弦函数 图象的作siyxcosyx图方法：五点法：先取横坐标分别为 0， 的五点，再用光滑的曲线把这五点3,2连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数 、余弦函数 的性质：sin()yxRcos()yxR（1）定义域：都是 R。（2）值域：都是 ，对 ，当 时， 取最大值 1；当1,sinyx2kZy时， 取最小值1；对 ，当 时， 取最大3xkZcosyxk值 1，当 时， 取最小值1。如ky（1）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 _， sin(3)6yabx2321ab（答： 或 ）

14、；,1（2）函数 （ ）的值域是_xxfcossi)( ,（答：1, 2） ；（3）若 ，则 的最大值和最小值分别是_ 、_6yin（答：7；5） ；（4）函数 的最小值是_，此时2()2cosin()3sifxxxicosx_x（答：2； ） ；()12kZ（5）己知 ，求 的变化范围21cosincosint（答： ） ；0,（6）若 ，求 的最大、最小值cssii2222siniy（答： ， ）1maxy2in。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性： 、 的最小正周期都是 2 ；sinyxcosyx和 的最小正周期都是 。如()sin()f

15、xAx()fA|T(1)若 ，则 _3if1)23(03)ff（答：0） ；(2) 函数 的最小正周期为_4()cosfxincosx4ix（答： ） ；(3) 设函数 ，若对任意 都有 成立，则)52i(f R)()(21xfxf的最小值为_|21x（答：2）（4）奇偶性与对称性：正弦函数 是奇函数，对称中心是sin()yx，对称轴是直线 ；余弦函数 是偶函数，,0kZ2xkZcos()yxR对称中心是 ，对称轴是直线 （正(余) 弦型函数的对称轴,02kkZ xkZ为过最高点或最低点且垂直于 轴的直线，对称中心为图象与 轴的交点） 。如xx（1）函数 的奇偶性是_、5ysin（答：偶函数）

16、 ；（2）已知函数 为常数） ，且 ，则 _31f(x)absinx(a,b57f()5f()（答：5） ；（3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是)coics2y_、_（答： 、 ） ；128k(,)(Z28kx(Z)（4）已知 为偶函数，求 的值。3f(x)sin()cosx)（答： ）6k()（5）单调性： 上单调递增，在si2,2ykkZ在单调递减； 在 上单调递减，在32,2kkZcosyx,kZ上单调递增。特别提醒，别忘了 ！ 16、形如 的函数：sin()yAx（1）几个物理量：A振幅； 频率（周期的倒数） ； 相位； 1fTx初相；（2）函数 表达式的确定：A 由最值sin(

17、)yx 确定；由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 ()sin()0,fxAx， 的图象如图所示，则 _（答：|)(f 1523） ；（3）函数 图象的画法：“五点法”设 ，令sin()yAxXx 0， 求出相应的 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象X,2变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数 的图象与 图象间的关系：函数 的sin()yxksinyxsinyx图象纵坐标不变，横坐标向左（ 0）或向右（ 0）平移 个单位得|的图象；函数 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，sinyxsinyx 1得到函数 的图象；函数 图象的横坐标不变，纵坐标变isix为原来的 A 倍，得到

18、函数 的图象； 函数 图象的横坐i()Asin()yAx标不变，纵坐标向上（ ）或向下（ ） ，得到 的图象。要特0k0kk23题 图29Y X-223别注意，若由 得到 的图象，则向左或向右平移应平移 个sinyxsinyx|单位，如（1）函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象？2i()14 sinyx（答： 向上平移 1 个单位得 的图象，再向左平snyx 2sin()4yx移 个单位得 的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得 的图象，最后将8i si纵坐标缩小到原来的 即得 的图象） ；12sinyx(2) 要得到函数 的图象，只需把函数 的图象向_平移_co()4sin2xy个单位（

19、答：左； ） ；2（3）将函数 图像，按向量 平移后得到的函数图像关于原点对72sin()13yxa称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出 ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量 ） ；(,1)6a（4）若函数 的图象与直线 有且仅有四个不同cosin0,2fxxyk的交点，则 的取值范围是k（答： ）,2)（5）研究函数 性质的方法：类比于研究 的性质，只需将si()yAsinx中的 看成 中的 ，但在求 的单调区间时，sin()yAxxsinyx()yA要特别注意 A 和 的符号，通过诱导公式先将 化正。如（1）函数 的递减区间是_23sin()（答： ） ；512k,

20、(kZ)（2） 的递减区间是_124xylogcs()（答： ） ；364k,(k)（3）设函数 的图象关于直线 对称，)2,0)(sin)( Axf 32x它的周期是 ，则A、 )21,0()(的 图 象 过 点xfB、 在区间 上是减函数53C、 )0,15()(是的 图 象 的 一 个 对 称 中 心xfD、 的最大值是 A()fx（答：C） ；（4）对于函数 给出下列结论：2sin3fxx图象关于原点成中心对称；图象关于直线 成轴对称；1图象可由函数 的图像向左平移 个单位得到2sinyx3；图像向左平移 个单位，即得到函数 的图像。2cosyx其中正确结论是_（答：） ；（5）已知函

21、数 图象与直线 的交点中，距离最近两点间()2sin()fx1y的距离为 ，那么此函数的周期是_3（答： ）17、正切函数 的图象和性质：tayx（1）定义域： 。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函|,2kZ数的定义域了吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是 ，它与直线 的两个相邻交点之间的距离ya是一个周期 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如 的周期都是 , 但xsin,i2 sinyx的周期为 ，而 ， 的周期不co21|sin(3)|,si(3)|626yxy|ta|y变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ，特别提醒：正(余),0kZ切型函数的对称中心有两类：一类是图象与 轴的交点，另一类是渐近线与 轴的交点，xx但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间 内都是增函数。但要注,2kk意在整个定义域上不具有单调性。如下图：