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第六章 二次型及其标准形 1. 二次型的定义定义 含有个变量 的二次齐次函数称为二次型. ( 二次齐次多项式) 当系数 为复数时， 称为复二次型；当系数 为实数时， 称为实二次型. 3. 二次型的矩阵表示式 令 ，则于是 记 其中 为对称阵： . 二次型的矩阵表示式说明 对称阵与二次型一一对应； 若 ， 二次型的矩阵 满足： 的对角元 是 的系数； 的 元是 系数的一半. 则对称阵 称为 二次型 的矩阵；二次型 称为对称阵 的 二次型；3. 二次型的矩阵表示式 例如：二次型的矩阵为于是二、二次型的标准形二、二次型的标准形二次型研究的主要问题是：寻找可逆变换 ，使 这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形( 法式). 特别地，如果标准形中的系数 只在三个数中取值，那么这个标准形称为二次型的规范形. 标准形的矩阵是对角阵. 三、化二次型为标准型三、化二次型为标准型1. 经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：因为有所以 与 的关系为：2. 矩阵的合同关系定义 设 和 是 阶矩阵， 若有可逆矩阵 ，使则称矩阵 与 合同. 说明 合同关系是一个等价关系. 设 与 合同，若 是对称阵，则 也对称阵
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