知识点057完全平方公式几何背景选择.doc

1、1、 （ 2010乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了 1 张面积为 a2 的正方形纸片，4 张面积为 ab 的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为 b2 的正方形纸片（ ）A、2 张 B、4 张C、6 张 D、8 张考点：完全平方公式的几何背景。分析：由题意知拼成一个大正方形长为 a+2b，宽也为 a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积解答：解：正方形和长方形的面积为 a2、b 2、ab，它的边长为 a，b，b它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：（a+2b） （a+2b）=a 2+4ab+4b2，还需面积为 b2 的正方形纸片 4 张故选 B点评：此题考查的

2、内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖2、 （ 2010丹东）图 是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（ ）A、 （m+n） 2（m n） 2=4mn B、 （m+n） 2（m 2+n2）=2mnC、 （mn ） 2+2mn=m2+n2 D、 （m+n ） （mn）=m 2n2考点：完全平方公式的几何背景。专题：计算题。分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为 m+n 的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是 2m，2n 的菱形的面积据此即可解答解答：解：（m+n） 2（m 2+n2）=2mn故选 B点评：本题是利

3、用几何图形的面积来验证（m+n） 2（m 2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b） 2=a2+2ab+b2你根据图乙能得到的数学公式是（ ）A、 （a+b） （a b）=a 2b2 B、 （ab） 2=a22ab+b2C、a （a+b）=a 2+ab D、a（a b）=a 2ab考点：完全平方公式的几何背景。分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积解答：解：大正方形的面积=（a b） 2，还可以表示

4、为 a22ab+b2，（ ab） 2=a22ab+b2故选 B点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（ ）A、a 2 B、a 2+b2C、a 2+2ab+b2 D、a 2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：要求面积就要先求出边长，从图中即可看出边长然后利用完全平方公式计算即可解答：解：图中的正方形的边长为 a+b，最大的正方形的面积等于=（a+b） 2=a2+2ab+b2故选 C点评：本题利用了完全平方公式求解5、如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（ ）A、 （a+b）

5、 2=a2+2ab+b2 B、 （ab） 2=a22ab+b2C、a 2b2=（ a+b） （a b） D、 （a+b ） 2=（a b） 2+4ab考点：完全平方公式的几何背景。分析：我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上 4 个长方形的面积，从而得出结论解答：解：（a+b） 2=（a b） 2+4ab故选 D点评：认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键6、请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ ）A、 （a+b） （a b）=a 2b2 B、 （a+b） 2=a2+2ab+b2C、

6、 （a b） 2=a22ab+b2 D、 （a+b ） 2=a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：此题观察一个正方形被分为四部分，把这四部分的面积相加就是边长为 a+b 的正方形的面积，从而得到一个公式解答：解：由图知，大正方形的边长为 a+b，大正方形的面积为， （a+b） 2，根据图知，大正方形分为：一个边长为 a 的小正方形，一个边长为 b 的小正方形，两个长为 b，宽为 a 的长方形，大正方形的面积等于这四部分面积的和，（ a+b） 2=a2+2ab+b2，故选 B点评：此题比较新颖，用面积分割法来证明完全平方式，主要考查完全平方式的展开式7、我们已经接触了很多代数恒等式

7、，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式例如图（3）可以用来解释（ a+b） 2（a b） 2=4ab那么通过图（4）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）A、a 2b2=（a+b ） （a b） B、 （ab） 2=a22ab+b2C、 （a+b） 2=a2+2ab+b2 D、 （a b） （a+2b）=a 2+abb2考点：完全平方公式的几何背景。分析：图（3）求的是阴影部分的面积，同样，图（ 4）正方形的面积用代数式表示即可解答：解：图（4）中，S 正方形 =a22b（ab ）b 2=a22ab+b2=（a b） 2，（ ab） 2=a22ab+b2故选 B点评：关

8、键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可8、如果关于 x 的二次三项式 x2mx+16 是一个完全平方式，那么 m 的值是（ ）A、8 或8 B、8C、8 D、无法确定考点：完全平方公式的几何背景。分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可解答：解：x 2mx+16 是一个完全平方式，mx=24x，解得 m=8故选 A点评：本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2 倍的符号，避免漏解9、如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是 a2， ab，b 2，则原正方形的边长是（ ）A、a 2+b2 B、a+bC、a

9、 b D、a 2b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：四部分的面积和正好是大正方形的面积，根据面积公式可求得边长解答：解：a 2+2ab+b2=（a+b） 2，边长为 a+b故选 B点评：本题考查了完全平方公式的几何意义，通过图形验证了完全平方公式，难易程度适中10、若长方形的周长为 6，面积为 1，以此长方形的长与宽为边分别作两个正方形，则此两个正方形的面积之和是（ ）A、7 B、9C、5 D、11考点：完全平方公式的几何背景。分析：设长方形的长是 a，宽是 b，根据题意，得 a+b=3，ab=1再进一步运用完全平方公式的变形求得 a2+b2 的值解答：解：设长方形的长是 a，宽是 b根据

10、题意，得 a+b=3，ab=1a2+b2=（a+b） 22ab=92=7故选 A点评：此题考查了完全平方公式在几何题目中的运用，渗透数形结合的思想11、某班同学学习整式乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习，现在全组同学有 4 个能够完全重合的长方形，长、宽分别为 a、b在研究的过程中，一位同学用这 4 个长方形摆成了一个大 的正方形如图所示，由左图至右图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）A、a 2+2ab+b2=（a+b） 2 B、4ab=（a+b） 2（ab ） 2C、a 22ab+b2=（a b） 2 D、 （a+b ） （a b）=a 2b2考点：完全平方公式的

11、几何背景。分析：根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积小正方形的面积=4 个矩形的面积解答：解：大正方形的面积小正方形的面积=4 个矩形的面积，（ a+b） 2（ab） 2=4ab，即 4ab=（a+b） 2（a b） 2故选 B点评：考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系12、如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为 a、b（ab） ，则这两个图形能验证的式子是（ ）A、 （a+b） 2（ab） 2=4ab B、 （a 2+b2）（a b） 2=2abC、 （a+b

12、） 22ab=a2+b2 D、 （a+b ） （a b）=a 2b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：本题从图形的阴影面积着手算起，结果选项 B 符合解答：解：前一个图阴影部分的面积：（a 2+b2）（a b） 2=2ab后一个图形面积： =2ab故选 B点评：本题考查了完全平方公式，从图形的阴影面积得到很简单13、如右图：由大正方形面积的两种算法，可得下列等式成立的是（ ）A、a 2+ab+b2=（a+b ） 2 B、a 2+b2=（a+b） 2+2abC、a 2+2ab+b2=（a+b） 2 D、a 2+2ab=（a+b） 2+b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：求出大正方形的边长可

13、得出面积，求出四个分割出来的部分的面积可得出大正方形的面积，从而可得出答案解答：解：由题意得：大正方形的面积=（a+b） 2；大正方形的面积=a 2+2ab+b2，可得：a 2+2ab+b2=（a+b） 2故选 C点评：本题考查完全平方公式的集合背景，难度不大，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是关键14、现有纸片：1 张边长为 a 的正方形，2 张边长为 b 的正方形， 3 张宽为 a、长为 b 的长方形，用这 6 张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（ ）A、a+b B、a+2bC、2a+b D、无法确定考点：完全平方公式的几何背景。分析：此题需先根据题意表示出重

14、新拼出的长方形的面积是 a2+3ab+2b2，再把 a2+3ab+2b2 因式分解，即可求出该长方形的长解答：解：根据题意得：a 2+3ab+2b2=（a+b） （a+2b） ，所以可以拼成 （a+2b） （a+b）的长方形，该长方形的长为 a+2b故选 B点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，要与因式分解相结合15、有三种卡片，其中边长为 a 的正方形卡片 1 张，边长为 a、b 的长方形卡片 6 张，边长为 b 的正方形卡片 9 张用这 16 张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为（ ）A、a+3b B、3a+bC、a+2b D、

15、2a+b考点：完全平方公式的几何背景。专题：计算题。分析：1 张边长为 a 的正方形卡片的面积为 a2，6 张边长分别为 a、b 的矩形卡片的面积为6ab，9 张边长为 b 的正方形卡片面积为 9b2，16 张卡片拼成一个正方形的总面积=a2+6ab+9b2=（a+3b） 2，大正方形的边长为： a+3b解答：解：由题可知，16 张卡片总面积为 a2+6ab+9b2，a2+6ab+9b2=（a+3b） 2，新正方形边长为 a+3b故选 A点评：本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长16、如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案，已知此图案的总

16、面积是 49，小正方形的面积是 4，x ，y 分别表示矩形的长和宽，那么下面式子中不正确的是（ ）A、x+y=7 B、x y=2C、4xy+4=49 D、x 2+y2=25考点：完全平方公式的几何背景。专题：常规题型。分析：根据大正方形的面积与小正方形的面积的表示，四个矩形的面积的和的两种不同的表示方法列式，然后整理，对各选项分析判断后利用排除法解答：解：A、 此图案的总面积是 49，（ x+y） 2=49，x+y=7，故本选项正确，不符合题意；B、小正方形的面积是 4，（ xy） 2=4，xy=2，故本选项正确，不符合题意；C、根据题得，四个矩形的面积=4xy，四个矩形的面积= （x+y ）

17、 2（x y） 2=494，4xy=494，即 4xy+4=49，故本选项正确，不符合题意；D、（x+y） 2+（x y） 2=49+4，2（x 2+y2）=53，解得 x2+y2=26.5，故本选项错误，符合题意故选 D点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示方法列出算式是解题的关键17、 （ 2011玉溪）若 x2+6x+k 是完全平方式，则 k=（ ）A、9 B、 9C、9 D、3考点：完全平方式。专题：方程思想。分析：若 x2+6x+k 是完全平方式，则 k 是一次项系数 6 的一半的平方解答：解：x 2+6x+k 是完全平方式，（ x+3） 2=x2+6

18、x+k，即 x2+6x+9=x2+6x+kk=9故选 A点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式18、 （ 2011连云港）计算（ x+2） 2 的结果为 x2+x+4，则“” 中的数为（ ）A、 2 B、2C、4 D、4考点：完全平方式。分析：由（x+2） 2=x2+4x+4 与计算（x+2） 2 的结果为 x2+x+4，根据多项式相等的知识，即可求得答案解答：解：（x+2） 2=x2+4x+4，“”中的数为 4故选 D点评：此题考查了完全平方公式的应用解题的关键是熟记公式，注意解题要细心19、 （ 2010南宁）下列二次三项式是完全

19、平方式的是（ ）A、x 28x16 B、x 2+8x+16C、x 24x16 D、x 2+4x+16考点：完全平方式。分析：根据完全平方公式：（ab） 2=a22ab+b2，对各选项分析判断后利用排除法求解解答：解：A、应为 x28x+16，故 A 错误；B、x 2+8x+16，正确；C、应为 x24x+4，故 C 错误；D、应为 x2+4x+4，故 D 错误故选 B点评：本题主要考查完全平方公式的结构特点，需要熟练掌握并灵活运用20、 （ 2008广东）下列式子中是完全平方式的是（ ）A、a 2+ab+b2 B、a 2+2a+2C、a 22b+b2 D、a 2+2a+1考点：完全平方式。分析

20、：完全平方公式：（ab） 2=a22ab+b2看哪个式子整理后符合即可解答：解：符合的只有 a2+2a+1故选 D点评：本题主要考的是完全平方公式结构特点，有两项是两个数的平方，另一项是加或减去这两个数的积的 2 倍21、 （ 2007益阳）已知 4x2+4mx+36 是完全平方式，则 m 的值为（ ）A、2 B、2C、6 D、6考点：完全平方式。专题：计算题。分析：这里首末两项是 2x 和 6 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 2x 和 6 积的 2倍解答：解：（2x6 ） 2=4x224x+36，4mx=24x，即 4m=24，m=6故选 D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平

21、方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2 倍的符号，避免漏解22、已知 x2+kxy+64y2 是一个完全式，则 k 的值是（ ）A、8 B、8C、16 D、16考点：完全平方式。分析：根据完全平方公式的特点求解解答：解：64y 2=（8y） 2，kxy=2（8y ）=16y，k=16故选 D点评：本题利用了完全平方公式求解：（ab） 2=a22ab+b2注意 k 的值有两个，并且互为相反数23、如果 x2+mx+16 是一个完全平方式，那么 m 的值为（ ）A、8 B、 8C、8 D、不能确定考点：完全平方式。分析：完全平方公式：（ab） 2=a22ab+b2，这里首末两项是 x 和 4 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 x 和 4 积的 2 倍，故 m=8解答：解：由于（x4） 2=x28x+16=x2+mx+16，m=8故选 C点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2 倍的符号，避免漏解24、若 9x2+mxy+16y2 是一个完全平方式，则 m 的值为（ ）A、24 B、 12C、12 D、24考点：完全平方式。分析：这里首末两项是 3x 和 4y 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 3x 和 4y 积的2 倍，故 m=24