2012年全国高中数学联赛.DOC

1、 2012年全国高中数学联赛一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分把答案填在题中的横线上1.设 是函数 （ ）的图 像上任意一点，过点 分别向P2yx0P直线 和 轴作垂线，垂足分别为 ，则 的值是_.,AB6.设 是定义在 上的奇函数，且当 时， 若对任意的 ，()fxR0x()fx,2xa不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_.2()afxa7满 足 的所有正整数 的和是_.1sin43n8某情报站有 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从,ABCD上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种设第1周使用种密码，那么第7周也使用 种密码的概率是_.（用最简分数表示

2、）二、 解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤9（本小题满分16分）已知函数 131()sincos2,0fxaxaRa（1）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围；xR0（2）若 ，且存在 ，使 得 ，求 的取值范围af10（本小题满分分）已知数列 的各项均为非零实数，且对于任意的 正整数 ，na n都有 2331212()naa （1）当 时，求所有满足条件的三项组成的数列 ;123,a（2）是否存在满足条件的无穷数列 ，使得 若存在，na203?求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由11（本小题 满分20分）如图5，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为

3、 ，且 XOYABCD46OBD（1）求证： 为定值；|AC（2）当点A在半 圆 （ ）上运动时，求2()4xyx点 的轨迹C三、（本题满分 50 分）设 是平面上 个点，它们两两间的距离的最小值为012,nP 1(0)d求证： 00()!3ndP四、（本题满分 50 分）设 ， 是正整数证明：对满足 的任意实数 ，数列12nSn 01ab,ab中有无穷多项属于 这里， 表示不超过实数 的最大整数(,)abxx来源:21 世纪教育网2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)一、填空题：本大题共小题，每小题分，共分把答案填在题中的横线上 设 是函数 （ ）的

4、图像上任意一点，过点 分别向直线 和P2yx0Pyx轴作垂线，垂足分别为 ，则 的值是 ,AB 设 的内角 的对边分别为 ，且满足 ，ABC, ,abc3cos5aBbAc则 的值是 .tan【答案】4来源:21世纪教育网设 ，则 的最大值是 .,0,1xyz|Mxyzx【答案】 21世纪教育网2【解析】不妨设 则,xyz .yz因为 2()2().yzyzx所以 ()11当且仅当 时上式等号同时成立.故,0,xyz max21.M4.抛物线 的焦点为 ，准线为， 是抛物线上的两个动点，且满足2()pF,AB设线段的中点 在上的投影为 ，则 的最大值是 .3AFBMN|【答案】121世纪教育网

5、【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 .2F在 中,由余弦定理得AFB22cos3ABFAFB2()3 2()3()2.MN当且仅当 时等号成立.故 的最大值为1.AFBAB5设同底的两个正三棱锥 和 内接于同一个球若正三棱锥PCQ的侧面与底面所成的角为 ，则正三棱锥 的侧面与底面所成角的正PC45ABC切值是 6. 设 是定义在 上的奇函数，且当 时， 若对任意的 ，()fxR0x()fx,2xa不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 2()afxa【答案】 ,.满足 的所有正整数 的和是 1sin43n【答案】33【解析】由正弦函数的凸性,有当 时, 由此得(0)6x3sin,x11s

6、in,sin3424所以131sin,sin.09sisin.34209故满足 的正整数 的所有值分别为 它们的和为 .si3n10,23某情报站有 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是,ABCD从上周未使用的三种密码中等可能地随 机选用一种设第周使用种密码，那么第周也使用种密码的概率是 （用最简分数表示）二、解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤（本小题满分分）已知函数 131()sincos2,0fxaxaRa（）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围；xR0（）若 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围2af（本小题满分分）已知数列 的各项均为非零实数

7、，且对于任意的正整数 ，na n都有 2331212()naa （）当 时，求所有满足条件的三项组成的 数列 ;123,a（）是否存在满足条件的无穷数列 ，使得 若存在，na203?求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由（本小题满分分）如图5，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为 ，且 XOYABCD46OBD（）求证 ： 为定值；|AC（）当点A在半圆 （ ）上运动时，求2()4xyx点 的轨迹C【解 析】因为 所以 三点共线, ,OBDABCD,OAC如图,连结 ,则 垂直平分线段 ,设垂足为 ,于是有K()()AK(定值)2222()22640B(2)设 其中 则 .(,)

8、cos,in),Cxy(),XMAX因为 所以2222)(8(1cos)sOAcos2OA由(1)的结论得 所以 从而cs5,5.xOCsinta.2yC故点 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 (,),)AB2012 年全国高中数学联赛加试试题（ 卷）一、（本题满分分）21 世纪教育网如图，在锐角 中， 是 边上不同的两点，使得ABC,MNBC设 和 的外心分别为 ，求证： 三点共线。.MNA12,O12,A证法一:令 消去 得1,2,kbmxyb12.kymx由 于 这方程必有整数解; 其中 为方程的特解.1(2,)k 0t0,()zxy把最小的正整数解记为 则 ,故 使 是 的倍(

9、,)xy1k21ab2a数40 分证法二:由于 由中国剩余定理知,同余方程组1(,k在区间 上有解 即存在 使 是 的倍0mod2)x1(02)km,xb,(1)数40 分证法三:由于 总存在 使 取 使(,),1),rN2(mod)r ,tN则1trk2odtr存在 使1)0,kbqq,ba此时 因而 是 的倍数40 分,m(b2a三、（本题满分分）设 是平面上 个点，它们两两间的距离的最小值为012,nP 1(0)d求证： 00()!3ndP四、（本题满分分）设 ，是正整数证明：对满足 的任意实数 ，数列12nSn 01ab,ab中有无穷多项属于 这里， 表示不超过实数的最大整数(,)abx【解析】证法一:(1)对任意 ,有N2132n nS 121)()2nn211()()2nn 1122n证法二:(1) 2132n nS11()()n 211()()2nn 2