1、n 维时不变系统的方程为系统 (7-10)的稳定性完全可由特征方程式 (7-11)的根及其相应的模式来决定。(7-10)五、时不变线性系统 的稳定性判据11. 运动模式及其收敛、发散、有界的条件例题 A-1 (7-10) 式中 A阵的特征值称为 模态 ， ni 重 特征值 对应的运动形式可能有 et, tet, , 均称为系统的运动模式。但这些模式并非全部都出现，究竟出现多少项取决于 的几何结构。例如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式：2尽管三者均具有相同的特征值且代数重数相等，但却有不同的几何重数：他们分别为 3、 2、 1。3注：1) 代数重数 ni ： 特征式中仅有的因子2) 几何
2、重数 ： i对应的线性无关的特征向量的个数， 即属于 i 的若当块的块数 。 几何重数 可以如下求出：例： 若 i为 6阶系统的三 重 根，且由计算得到则表明 i有三个线性无关的特征向量。 4以下几种提法是等价的（参看矩阵论）：对特征值 i(a) i 是最小多项式的单根 ;(b) i 的初等因子都是一次的；(c) 对应的 Ji 是 对角形；(d) 对应的若当块的个数等于代数重数；(e) 几何重数等于代数重数 .5由以上讨论可以得出的结论是：1) Re 0, 对应的所有运动模式发散，即随着时间趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散 .。3) Re =0, 分两种情况： 若 对应的若当块全是一阶
3、子块，这时 的代数重数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动模式也不收敛，运动模式是 有界的 ；6 当 的几何重数小于代数重数， 对应的若当块一定有二阶或二阶以上的出现，这时 运动模式发散，但发散是按时间的幂函数的规律 。因此当零实部重根出现 时 ,一定要研究它的几何重数后，才可对运动模式的形态作出结论。只要将 例题 A-1中的特征值 换为零，就可证实以上结论：78定理 7-4： 系统 dx/dt=Ax的稳定性有以下充分必要条件1) (李氏 )稳定： det(sIA)实部为零的根对应的初等因子是一次 (或对应的若当块为一阶子块，或是最小多项式的单根。几何重数等于代数重数。 ) ，且其余根均具负实部。2) 渐近稳定： det(sIA)的 所有根均具负实部。3) 不稳定： det(sIA)有 正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。证明： 根据定理 7-2，我们只要讨论其状态转移矩阵的性质就可以了。2. 稳定性判据9将 eAt 写 成 PeJt P1， 这里显然，只要讨论 eJt的有界性和收敛性即可，而这等价于讨论 eJt 的每个元素的有界性和收敛性。10
