1、六、经典极限 n 据薛定谔方程有：n 若 可看成小量，并设 等，则上方程中不含 的部分有 与分析力学的 Hamilton-Jacobi方程相同，其中 是 Hamilton的主函数。n 因此，薛定谔波力学在 极限下给出经典力学。n 若将 S解释成 Hamilton的主函数，对不含时 Hamilton量，主函数 S具有可分离的形式，n 称为 Hamilton的特征函数。n 随着时间的变化，等 S面的空间演化与波动光学中的常相位面即波前变化相同 . 九、完整的 WKB解n 对 区 ,有n 对 不满足 。上述解不成立 ,需要将上述两解以适当方式连接。标准步骤是：n 1在 附近将 V(x)线性化。n 2
2、解微分方程得与 阶 Bessel函数相关的严格解。该解适用于 x0附近n 3. 该第三个解需通过选择合适的积分常数与另两解匹配n 这里不讨论这些步骤的细节而只给出结果：波函数在EV(x)区振荡，在 E0区的解，可通过求解修正势 , 的奇对称解得到n 该问题的 WKB转折点为 ,n 量子化条件变为n 即 n 与本征能态的严格解： 非常接近 (近似解略低于严格解，误差随能级的增高而变小 )（ -是 Airy函数为零的根）量子化条件n V(x1)=V(x2)=En 波函数的节点越多，对应的能级越高n 对 V(-x)=V(x), u(-x)=u(x); n n: 偶数 -偶对称（ u(0)=0）， n
3、：奇数 -奇对称（ u(0)=0）十一、遂穿几率由 WKB解知：粒子速率：碰撞频率： f=v/2x0遂穿几率：两个实用基本定理1. 一维束缚态无兼并2. （实）哈密顿本征空间波函数总可选为实函数2.6 传播子和 Feynman路径积分 一、波动力学的传播子n 不含时哈密顿量体系的时间演化，可以用与 H对易的观测量的本征矢展开初态即可求得：n 或 n 其中，n 将上述表达式改写成：n 即n 这里n 称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。n 可见： 1) 波函数的时间演化由 K确定 (波动力学是纯粹的因果理论 ); 2) 波函数的时间变化与经典力学物理量一样完全确定。 3) 不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测观测量的本征函数之一。该转化或 “投影 ”呈概率性，但统计几率确定。 二、传播子的基本性质n 1. 传播子 满足含时薛定谔波动方程 （ ,tt0为变量， 不变）：n 2. （即 ）n 这两性质说明 传播子可看作是 t0 时处于 的粒子在 t时刻的波函数 （ ）n 初态有空间分布时，则将初态波函数乘以传播子并对空间积分，与静电学求电势相似（但 K有 “相位 ”）：n 3. 传播子是含时波动方程的格林函数 ：n 和边界条件 （对 tt0） .
