求解离心率的范围问题学生版.DOC

1、1求解离心率的范围问题（学生版）离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法来源:学,科,网 Z,X,X,K离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出 a、c，求解 e：已知标准方程或 a、c 易求时，可利用离心率公式 来求解；ace（2）变用公式，整体求出 e：以椭圆为例，如利用 ， ；2221abe221bcc（3）构造 a、c 的齐次

2、式，解出 e：根据题设条件，借助 a、b、c 之间的关系，构造出 a、c 的齐次式，进而得到关于 e 的方程，通过解方程得出离心率 e 的值.二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用 进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率,abc的范围.【例 1】 已知椭圆的中心在 ,右焦点为 ，右准线为 ，若在 上存在点 ，使线段 来的垂直平分源:Zxxk.ComOFllMO线经过点 F，则椭圆的离心率的取值范围是_.【答案】： 1,2来源:Z+xx+

3、k.ComxyMFOl【牛刀小试】已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 P，使得由点 P 所21:(0)xyCab22:Cxyb1C2作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率的取值范围是_.【答案】2C1C2,1)2 借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立， 的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解. BoF1 FAxy【例 2】 已知椭圆 上一点 关于原点 的对称点为 为其右焦点，若 设21(0)xyabAO,BF,AFB且 则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】,ABF,24 26,3【牛刀小试】过椭圆 C： 的左顶点 A

4、且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B，且点 B 在 x)0(12bayx轴上的射影恰好为右焦点 F，若 k , 则椭圆的离心率的取值范围是 .【答案】( )3 32,13 借助函数的值域求解范围根据题 设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函 数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.来源:学|科| 网 Z|X|X|K【例 3】已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则椭圆 的离心 率 的取值范围21:1xyCmn2:1xyCmn1Ce为_.【答案】 (,)2【牛刀小试】已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆 以 为焦点,0A,B

5、(,)Pxy:3lx,AB且经过点 ，则椭 圆 的离心率的最大值为_.【答案】PC4264 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆 中，210xyabb，3，P 是椭圆上任意一点，则 等。ax1acPFac【例 4】设 为椭圆 的左、右焦点，且 ，若椭圆上存在点 使得12,F21(0)xyba12|FcP，则椭圆的离心率的最小值为_ 【答案】21|Pc 3【牛刀小试】已知 分别为双曲线 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若12,F)0,(12bayx的最小值为 8 ，则双曲线的离心率 的取值范围是_.【答案】21Pae1,3【迁移运用

6、】1如图 ， 在平面直角坐标系 中，已知 ， ， 分别为椭圆 的 右、下、 上顶点 ，xOyA1B22:1(0)xyCab是椭圆来 的右焦点若 ， 则椭圆 的离心率是 FC21F5y（第 1 题）xOFAB2B12若圆 与双曲线 的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为 22(3)(1)3xy21(0,)xyab。 【答案】 3焦点在 轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三x210xyab角形内切圆的半径为 ，则椭圆的离心率为 .【答案】3b12考点：椭圆的标准方程与几何性质.4.【山东省肥城市 2017 届高三上学期升级统测，14】在平面直角坐标系 中, 若双曲线

7、 的离xOy214xym4心率为 ,则 的值为 【答案】5m25如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上， ， ， ， 为椭圆的顶点， 为右焦点，延长 与x1A21B22F12BF交于点 ，若 为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是 【答案】2ABP12B 5(0,)6如图， ， 是双曲线 的左、右两个焦点，若直线 与双曲线 交于 、1F22:1(0,)xyCabyxCP两点，且四边形 为矩形，则双曲线的离心率为 【答案】 .Q12PQ27过双曲线 （ ， ）的右焦点 作渐进线的垂线，设垂足为 （ 为第一象限的 点） ，延21xyab0abFP长 交抛物线 （ ）于点 ，其中该双曲线与抛物线有一

8、个共同的焦点，若 ，FP2pQ1()2OFQ则双曲线的离心率的平方为 【答案】512考点：双曲线定义【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b ，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.58已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 是圆2:10,xyCab12,0,Fc,AB与 位于 轴上方的两个交点，且 ，则双曲线 的离心率为_ 【答224xcy 12/ABC案】3179已知椭圆 上有一点 A，它关于原点的对称点为 B，点 F 为

9、椭圆的右焦点，且满足2(0)xyab，设 ，且 ，则该椭圆的离心率 e 的取值范围为_.【答案】AFBAF,126631,10已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 ，这两条曲线在第一象限的交点21,F为 P， 是以 为底边的等腰三角形若 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值21F1 10PF21,e21范围是_.【答案】 （ ，+ ） 311已知 是双曲线 的左、右两个焦点，以线段 为直径的圆与双曲线的一条渐12,21xyab(0,)b12F近线交于点 M，与双曲线交于点 N（点 M，N 均在第一象限） ，当直线 与直线 ON 平行时，双曲线离心率取值为1M，则

10、 所在区间为_.【答案】0e (1,2)12如下图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上， 为椭圆顶点， 为右焦点，延长 与x12,AB2F12BF交于点 ，若 为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是_.【答案】2ABP12BA51,613 若双曲线 上不存在点 使得右焦点 关于直线 （ 为双曲线的中心）的对称点21(0,)xyabPFOP在 轴上，则该双曲线离心率的取值范围为_ 【答案】y (1,214椭圆 M： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 为椭圆 M 上任一点，且| | |的最大值的取值x2a2 y2b2 PF1 PF2 范围是2c 2,3c2，其中 c ，则椭圆 M 的离

11、心率 e 的取值范围是_.【答案】 ， a2 b233 2215已知点 F1、F 2 分别是双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于x2a2 y2b2A，B 两点，若ABF 2 是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_.【答案】 (1 ，)216.从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是3b 2,4b2，则这一椭圆离心率 e 的取值范围是_ 【答案】 ， 53 3217.已知 P 是椭圆 和双曲线 的一个交点， 是椭圆和双曲21xyab1(0)21xyab2(0,)b12,F线的公共焦点， 分别为椭圆和双曲

12、线的离心率， ，则 的最大值为 【答案】12,e 123FP12e2318在平面直角坐标系中，已知点 (2,)F及直线 :20lxy，曲线 1C是满足下列两个条件的动点(,)Pxy的轨迹： ,Pd其中 是 P到直线 l的距离； .25xy(1) 求曲线 1C的方程;7(2) 若存在直线 m与曲线 1C、椭圆2:1(0)xyab均相切于同一点，求椭圆 2C离心率 e的取值范围.求解离心率的范围问题（教师版）离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困

13、难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法来源:学,科,网 Z,X,X,K离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出 a、c，求解 e：已知标准方程或 a、c 易求时，可利用离心率公式 来求解；ace（2）变用公式，整体求出 e：以椭圆为例，如利用 ， ；2221abe221bcc（3）构造 a、c 的齐次式，解出 e：根据题设条件，借助 a、b、c 之间的关系，构造出 a、c 的齐次式，进而得到关于 e 的方程，通过解方程得出离心率 e 的值.二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三

14、角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用 进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率,abc的范围.【例 1】 已知椭圆的中心在 ,右焦点为 ，右准线为 ，若在 上存在点 ，使线段 来源:Zxxk.ComOFllMO8的垂直平分线经过点 F，则椭圆的离心率的取值范围是_.【答案】： 来源:Z+xx+k.Com1,2xyMFOl【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在

15、点 P，使得由点 P 所21:(0)xyCab22:Cxyb1C作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率的取值范围是_.【答案】2 1 2,)【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线 PA,PB，则两切线形成的角 最 小，若椭圆 上存在点 P 令切线互APB1C相垂直，则只需 ，即 ，09APB045APO ，解得 ， ，即 ，而 ，02sinsi45ba2ac21e201e ，即 .21e,1)2 借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立， 的范围等，进一步得到离9心率的不等关系式，从而求解. BoF1 FAxy【例 2】 已知椭圆 上一

16、点 关于原点 的对称点为 为其右焦点，若 设21(0)xyabAO,BF,AFB且 则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】,ABF,24 26,3【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式 ，然后借助已知条件2sincos2a利用三角函数的图象求解离心率的范围.,124【牛刀小试】过椭圆 C： 的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B，且点 B 在 x)0(12bayx轴上的射影恰好为右焦点 F，若 k , 则椭圆的离心率的取值范围是 .【答案】( )3 32,1【解析】如图所示： |， ， ，2Aac2acB 222tanacBFkA又 k ， ， ，解得 31113

17、c213e3e103 借助函数的值域求解范围根据题 设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函 数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.来源:学|科| 网 Z|X|X|K【例 3】已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则椭圆 的离心 率 的取值范围21:1xyCmn2:1xyCmn1Ce为_.【答案】 (,)2【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式 ，进而根据 m 的范 围，借助21e反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆 以 为焦点(2,0)A(,)B(,)Pxy:3lxC,AB且经过点 ，则椭 圆 的离心率的最大值为_.【答案】PC426【解析】由题意可知， ，由 可知 最大时需 最小，由椭圆的定义 ，即使得2c2ceaea|2PABa最小，如图，设 关于直线 的对称点 ，|PAB(,0)A3yx(,)Dxy