1、1/16第 7 章 离散控制系统的分析与综合7.3 离散系统的能控性和能观性1、离散系统 的能控性和能观性判据能控性和能观性定义:对有限个采样周期,若能找到控制信号序列,能使任意一个初始状态转移到零状态, 则系统是状态完全能控的;若根据有限个采样周期的输出序列,能唯一地确定任意初始状态,则系统是状态完全能观的。能控性和能观性判据:n 阶线性定常离散系 统 状态完全能控的充要条件(,)ABC是2/161rankrank,ncQBABn-=状态完全能观的充要条件是 1rankrankonCAQC-=2、连续系统 离散化后的能控性与能观性设具有零阶保持器的 n 阶连续系统以采样 周期 T 离散为离散
2、系统。定理:若连续系统不能控(不能观),则其离散系统必不能控(不能观)。若 连续系统 能控(能观),其互异特征值(含重特征值)为 ,若 对 一切, 21 ,2,1,0 jiRjie3/16的互异特征值满足 ,21,2 kTkIjim则其离散系统必保持能控(能观)性。7.4 离散系统的稳定性1、离散系统稳 定的充要条件1)赛尔维斯特展开定理设 n 阶系数矩 阵 A 具有互异特征值 , 是n, 21 )(AfA 函数,则有 iini AfAf )()(1其中 jiinijji IAA,14/162)离散系统稳定的充要条件线性定常离散系统齐次状态方程 0(1)()()(0)xkAxkxkx+=的解为
3、 ()(0)kxkAx=由系统的特征方程 0zIA-=可解得系统的特征值。设 A 的特征值 两两互异,则由赛尔维斯特展n, 21开定理得 1nkkiiiAA=5/16其中 ,其与 无关。于是1,niijjiijAIA=-k1()(0)nkiixkAx=因 和 都与离散时间 无关,故 时自由响应序iA)0(x kk列 ),1,()(0kkx收敛为零,即 系统渐近稳定的充要条件是 时全部的k,或曰 。显然,若有 ,则系统临界0ki ),2,1(nii 1i稳定。可以证明, 有重特征值时,此 结论仍成立。A这表明,线性定常离散系统渐近稳定的充要条件是其特征值位于复平面上的单位圆内。6/16)(Re)
4、(Im不稳定区 区 区 区012、离散系统稳 定分析的直接法线性定常离散系统 (1)()xkAxk+=的平衡状态满足 。()0A=当 非奇异,系统有唯一平衡状态 。A 0ex定理:线性定常离散系统 ,若 对于任一给定的实对(,)ABC称矩阵 Q,离散李雅普诺夫方程7/16tAPQ-=-有唯一正定对称解 P,则系统的平衡状态是渐近稳定的。为简单, 常取 Q = I。7.5 离散系统的综合线性定常离散系统的综合的原理与方法与线性定常连续系统类似。有关离散系统综 合的定理如下:离散系统通过状态反馈控制器任意配置极点的充要条件是其完全能控;若离散系统完全能观,则可构造极点可配置的状态观测器;状态反馈控
5、制器和状态观测器满足分离定理,可独立设计。设离散系统8/16(1)()()xkAxkBukyCD+=+的控制器输入信号取自观测器输出 ,即)(kx)()(Kku式中 为状态反馈矩阵。nrK观测器方程为 (1) ()()()xkGCxkGykBuk+=-+区A式中 为观测器输出误差反馈矩阵。nmG将控制器方程代入到观测器方程,得 (1) ()()xkABKGCxkGyk区对单变量系统,系 统输入变量和输出变量均为标量。对上式作 z 变换,得9/161() ()XzzIABKGCYz区 将其代入控制器方程 )()(zXKzU得 1() ()UzKzIABKGCYz区 于是,可求得控制器输出变量与系
6、统输出变量 z 变换之比:1()() zDzKzIABKGCY区 为补偿器的 z 传递函数。)(zD补偿器是控制器和观测器的综合,其根据系统的实际输出计 算出对系统的控制作用 。补偿器可以方便地用计算)(ky )(ku机实现。10/16例:某系统被控对象的传递函数 21)(sG试设计带观测器的状态反馈控制器,并求其补偿器 。已知)(zD采样周期为 秒。要求系统闭环极点为 ;观1.0T 8.0,6.021z测其极点为 。.j6.z解:(1)连续部分的离散化状态方程设被控对象为串联结构,传函框图和状态变量选择如图: s1 )(ty)(tu s11x2x其状态方程为 ()()()xtAxtBut=+