曲线和方程典型例题.doc

1、 1 / 12典型例题一例 1 如果命题“坐标满足方程 的点都在曲线 上”不正确，那么以下正确的命题是0yxf， C（A）曲线 上的点的坐标都满足方程 Cf，（B）坐标满足方程 的点有些在 上，有些不在 上f，（C）坐标满足方程 的点都不在曲线 上0yx，（D）一定有不在曲线 上的点，其坐标满足方程 0yxf，分析：原命题是错误的，即坐标满足方程 的点不一定都在曲线 上，易知答案为 Dyxf， C典型例题二例 2 说明过点 且平行于 轴的直线 和方程 所代表的曲线之间的关系)1,5(Pl1分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可其中“曲线上的点的坐

2、标都是方程 的解” ，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点0),(yxf都是曲线上的点” ，即完备性这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则解：如下图所示，过点 且平行于 轴的直线 的方程为 ，因而Pxl1y在直线 上的点的坐标都满足 ，所以直线 上的点都在方程 表示l 1y 的曲线上但是以 这个方程的解为坐标的点不会都在直线 上，因此l方程 不是直线 的方程，直线 只是方程 所表示曲线的一部分1yll1y说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性典型例题三例 3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程 所表示的

3、直线之间的关系xy分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析解：方程 所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等但是“到坐标轴距离相等xy的点的轨迹”上的点不都满足方程 ，例如点 到两坐标轴的距离均为 3，但它不满足方xy)3,(程 因此不能说方程 就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程 所表示的轨迹说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上” ，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程” ，即不满足纯粹性只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线典型例题四例 4 曲线 与直线 有两个不同的交点，求 的取值范围有一个交4

4、)1(22yx 4)2(xky k点呢？无交点呢？2 / 12分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于 的一元二次方程的判别式 分别满x足 、 、 00解：由 .4)1(,22yxk得 04)23()1( kx 3422k)5(1当 即 ，即 时，直线与曲线有两个不同的交点00)2(k251k当 即 ，即 或 时，直线与曲线有一个交点5)1(当 即 ，即 或 时，直线与曲线没有公共点002k21k5说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关

5、于 (或 )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便xy可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析典型例题五例 5 若曲线 与 有两个公共点，求实数 的取值范围xay)0(aa分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解” ，从而研究一元二次方程的解的个数问题若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发解法一：由 得：axyay ， ，022)(即 0)1(432a要使上述方程有两个相异的非负

6、实根则有： 012)1(243246aa3 / 12又 0a解之得： 1所求实数 的范围是 ),(解法二： 的曲线是关于 轴对称且顶点在原点的折线，而xayy表示斜率为 1 且过点 的直线，由下图可知，当 时，折线的xy),0(a1a右支与直线不相交所以两曲线只有一个交点，当 时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求若题设条件中“ ”0a改为 呢，请自己探求Ra典型例题六例 6 已知 ，其中 ， ， ，则角 平分线的方AOB)0,6(),(O)3,0(BAOB程是 (如下图)，对吗？xy分析：本题主要考查曲线方程概念掌握

7、和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段解：不对，因为 内角平分线是一条线段 ，而方程 的图形是一条直线如点ABCxy坐标适合方程 ，但点 不在 内角 的平分线上)8,(PxyPAOB综合上述内角 平分线为： O)20(xy说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围典型例题七例 7 判断方程 所表示的曲线12xy分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先将方程进行等价变形解：由原方程 可得：12xy，即1xy),(方程 的曲线是两条射线，如图所示：2x说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形如方程 等价

8、21yx于 且 ，即 ，原方程的曲线是抛物线一部分)1(2yx1)1(2)(xy典型例题八例 8 如图所示，已知 、 是两个定点，且 ，动点 到定点 的距ABABMA离是 4，线段 的垂直平分线 交线段 于点 ，求动点 的轨迹方程MlP4 / 12分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点 满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，P要从题意中分析找出等量关系连结 ，则 ，由此BM，即动点 到两定点 ， 距离之和为常数4APMBPA AB解：过 ， 两点的直线为 轴， ， 两点的中点 为坐标原点，建立直角坐标系xO ， ， 两点坐标分别为 ， 2)0,1(,(连结 垂直平分线段 ，lB ，P4A

9、MBA设点 ，由两点距离公式得),(yx，)1(122y化简方程，移项两边平方得(移项)xyx42两边再平方移项得：，即为所求点 轨迹方程1342P说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出 点与两定点 ， 距离之和为常数 ，PAB4是解本题的关键方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性典型例题九例 9 过 点作两条互相垂直的直线 ， ，若 交 轴于 ， 交 轴于 ，求线段42，P1l21l2ly中点 的轨迹方程ABM解：连接 ，设 ，则 ， yx， 0，xAyB， 21l 为直角三角形PAB由直角三角形性质知 ABM21即 22244yxyx化简得 的轨迹方程为 05说明：本题

10、也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此本题可有三种解法用斜率求解的过程要麻烦一些 典型例题十O A xPyB图M5 / 12例 10 求与两定点 、 满足 （ 是常数）的动点 的轨迹AB22kPP方程分析：按求曲线方程的方法步骤求解解法一：如图甲，取两定点 和 的连线为 轴，过 的中点且与xAB垂直的直线为 轴建立坐标系ABy设 ， ， ，则： ，)0,(a),(B),(yxP22)(ya22xP据题意， ，有 得 2k222)()( kxa24ax由于 是常数，且 ，所以 为动点的轨迹方程，即动点 的轨迹是一条平行于k0ax4P轴的直线y解法二：如图乙，取 与 两点连线为 轴，过

11、点且与 垂直的直线为ABAB轴建立坐标系设 ， ， ，则： ，)0,(A),(a),(yxP22yx22yxPB据题意， ，有 ，2kB222)(ka得 ，即动点 的轨迹方程为 ，它是平行于 轴的一条直线akx2Pxy解法三：如图丙建立坐标系，设 ， ， ，则),(1yA),(2yB),(xP， 21212)()(yxPA22x据题意， ，有kB，222121 )()()()( kyx整理后得到点 的轨迹方程为：，它是一条直线022121212 yx说明：由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看

12、便知是直线而解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦因此，在求曲线方程时，根据具体情况适当选取坐标系十分重要另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线典型例题十一例 11 两直线分别绕着定点 和 ( )在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线ABa2的交点 的轨迹方程P分析：建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式6 / 12解：取直线 为 轴，取线段 的中点 为原点建立直角坐标系，则：ABxABO， ， 属于集合 )0,(a),(P22ABPC设 ，则 ，化简得 ),(yxP222)(ayxy

13、 ayx这就是两直线的交点 的轨迹方程说明：本题易出现如下解答错误：取直线 为 轴，取线段 的中点 为原点建立直角坐标系，则：ABxABO， ，交点 属于集合 )0,(a),(P1PBAkPBAC设 ，则 ， ，yPaxykPA)(axykPB)(故 ，即 ( )1xa22要知道，当 轴且另一直线与 轴重合时，仍有两直线互相垂直，此时两直线交点x为 同样 轴重合时，且另一直线与 轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为 因APB B而， 与 应为所求方程的解)0,(a),(纠正的方法是：当 或 的斜率不存在时，即 时， 和 也在曲线APBax)0,(A),(a上，故所求的点 的轨迹方程是 22a

14、yx求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分典型例题十二例 12 如图， 的两条直角边长分别为 和 ， 与 两点ABCRtab)(AB分别在 轴的正半轴和 轴的正半轴上滑动，求直角顶点 的轨迹方程xyC分析：由已知 是直角， 和 两点在坐标轴上滑动时，B也是直角，由平面几何知识， 、 、 、 四点共圆，则有OAO，这就是点 满足的几何条件由此列出顶点 的坐标适AB合的方程解：设点 的坐标为 ，连结 ，由 ，所以 、 、 、 四C),(yxC90ABAOBC点共圆从而 由 ， ，有 ，即 ABOabta

15、nxyOCtnabxy注意到方程表示的是过原点、斜率为 的一条直线，而题目中的 与 均在两坐标轴的正半AB轴上滑动，由于 、 为常数，故 点的轨迹不会是一条直线，而是直abC线的一部分我们可考察 与 两点在坐标轴上的极端位置，确定 点ABC坐标的范围如下图，当点 与原点重合时，7 / 12，所以 xbaxABSC212 2ba如下图，当点 与原点重合时， 点的横坐标CBDx由射影定理， ，即 ，有D2 22由已知 ，所以 2baxba22ba故 点的轨迹方程为： （ ） Cxyx说明：求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适合的部分典型例

16、题十三例 13 过点 作两条互相垂直的直线 、 ，若 交 轴于 ， 交 轴于 ， 在线)2,3(P1l21lxA2lyBM段 上，且 ，求 点的轨迹方程AB:1:M分析：如图，设 ，题中几何条件是 ，在解析几何中要表示垂直关系的代数关),(yx21l系式就是斜率乘积为1，所以要求 的轨迹方程即 、 之间的关系，首先要把 、 的斜率用xy1l2、 表示出来，而表示斜率的关键是用 、 表示 、 两点的坐标，由题可知 是 、 的xy ABAB定比分点，由定比分点坐标公式便可找出 、 、 坐标之间的关系，进而表示出 、 两点的M坐标，并求出 点的轨迹方程M解：设 ， ，),(yx)0,(aA),(bB

17、 在线段 上，且 3:1: 分 所成的比是 ，B3由 ，得 ，31byaxyx4 、)0,4(xA),(yB又 ， 的斜率 ， 的斜率 2,3P1lxk3421l3242yk ， 21l34yx8 / 12化简得： 01384yx说明：本题的上述解题过程并不严密，因为 需在 时才能成立，而当 时，1k49x49x， 的方程为 所以 的方程是 故 ，可求得 ，而)0,3(A1l3x2l2y),0(B)21,(M也满足方程 故所求轨迹的方程是 这类题在解答时应2490184y 038yx注意考虑完备性和纯粹性典型例题十四例 14 如图，已知两点 ， 以及一直线 ，设长为 的线段 在直线)2,(P)

18、,0(Qxyl： 2AB上移动求直线 和 的交点 的轨迹方程lABM分析 1：设 ，题中的几何条件是 ，所以只需用),yx2AB表示出 、 两点的坐标，便可求出曲线的方程，而要表示 点),(yx A坐标可先找出 、 两点坐标的关系，显然 、 、 三点共线这P样便可找出 、 坐标之间的关系，进而表示出 的坐标，同理便可A表示出 的坐标，问题便可以迎刃而解B解法一：设 、 、 ),(yxM),(a),(bBa由 、 、 三点共线可得： （利用 与 斜P2xyPAM率相等得到） 42yxa由 、 、 三点共线可得 QBMxyb2 2yxb又由 得 A2)(a ， 1ab14yx化简和所求轨迹方程为：

19、 0822分析 2：此题也可以先用 、 、 三点共线表示出 点坐标，再根据 表示出PAMA2AB点坐标，然后利用 、 、 三点共线也可求得轨迹方程BQB解法二：设 ，),(yx),(a由 且 在直线 上且 在 的上方可得：2Ax)1,(aB9 / 12由解法一知 ，42yxa )3,(B又由 、 、 三点共线可得：QMxyxy243化简得所求轨迹方程为： 0822yx解法三：由于 且 在直线 上AB所以可设 ， ),(a)1,(a则直线 的方程为：P)2(2xy直线 的方程为：Q)()(由上述两式解得 )0(12ayx 4)1(22ayx ，8x即 02y而当 时，直线 与 平行，没有交点0a

20、APBQ所求轨迹方程为 0822yx说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，而后一种方法，事实上它涉及到参数的思想( 为参数)，利用交点求轨迹方程一般先把交点表示为关于参数的坐标，然后消去参数，这也反a映出运动的观点1下列各组方程中，表示相同曲线的一对方程是A B。 C D。2,yxy1,yx0,2yxxylg2,l2如果实数 满足条件 那么 的最大值为（ ）,01yx210 / 12A2 B1 C D233点（3，1）和点（ ）在直线 的两侧，则 的取值范围是（ ）6,40ayxaA 或 B C 或 D7a477247a4 中， ,以三角形内部及其边界为可行域，若使目标函数B)521()

21、,2,5(取最大值的最优解有无穷多个，则 的值为（ ）0yxz aA. B. C。4 D.1335曲线 关于直线 对称的曲线方程是（ ）22xA B C Dy88yxy41621642xy6设 是平面直角坐标系中一个面积有限的图形 M 的边界方程，则 围成的1),(xf 1)2,(yf图形面积是 M 面积的（ ）A. 倍 B. 倍 C.1 倍 D.4 倍427已知坐标满足方程 的点都在曲线 C 上，那么（ ）0),(yxFA曲线 C 上的点的坐标都适合方程 0),(yxB坐标不适合方程 的点都不在曲线 C 上),(C不在曲线 C 上的点的坐标必不适合方程 ),(FD不在曲线 C 上的点的坐标有些适合方程 ，有些不适合方程0yx 0),(yxF8已知曲线 C 的方程是 ，下列各点不在曲线 C 的点是（ ）)(2mxyA B C D)0,()2,(m),0(,9在平面直角坐标系中，方程 表示的图形是（ ）0422yA2 条直线 B4 条直线 C2 个点 D4 个点10下列方程的曲线关于直线 对称的是xA B C D122yx12y1yx12yx11直线 被曲线 所截得的线段的中点到原点的距离是（ ）3A B C D292942912实数 、 满足不等式组 ，则 的取值范围是（ ）xy02yx1xy