时间序列复习2017.docx

1、考试题型：填空题 2*5，计算题 6*10，叙述题：1*10，案例分析题 1*15，证明题 1*5熟悉书上基本知识点！计算题和案例分析主要分布在书上第三章、第四章和第五章，尤其是第三章。 以书上例子和课后习题为本！ 类似书上第 9 题 1. （10 分）已知 MA(2)模型： ， 120.7.4ttttX（1）计算自相关系数 ； （2）计算偏相关系数 ；(1)k(,3)k解：（1） 12120.7.4)(.t ttttkttkEX（所以： ，2201,()k21,k， ，13,所以： , 2.59,2210.4. ,3k（2） 即 ，所以 .1011059当 时，产生偏相关系数的相关序列为 ，

2、相应 Yule-Walker 方21,程为：,0122所以 .2016当 时，产生偏相关系数的相关序列为 ，相应 Yule-Walker3k3123,方程为：,123223所以 . 3047类似书上第 3 题 2. （10 分）已知 AR(2)模型为 ，(10.5)(.3)ttBX.25tD（1）计算偏相关系数 ;(1,23)k（2） .()tVarX解（1） ,11(0.5)(1.3)0.8.5tttttBXX所以： ,128,对于 模型其系数满足()AR，所以:1112 20.85和 , 120.69521.4065即 , .10110.695当 时, 产生偏相关系数的相关序列为 , 相应

3、 Yule-Walker 方k 2程为:,01212所以,121 2()()0.49对于 模型其偏相关系数具有以下特点:()ARp,1,0jkj jpk所以， ， . 2.530(2) , 12()( )t tttEXXX, ， .012ttttrr 21r10r20r因 ， ， ， .8,0.52.a10.6952.465所以： . ()96tVarX3. 检验下列模型的平稳性与可逆性，其中 为服从正态分布的白噪音。t(1) t2-t1-ttxx(2) 2t1ttt-tt 5.06.4.8.0解：AR（p）模型平稳性的特征根判别法要求所有特征根绝对值小于 1,AR（1）模型平稳性的平稳域判别

4、法要求 ,1|AR（2）模型平稳性的平稳域判别法要求： .1|22(1) 特征方程为: , ,0)(1021即由特征根判别法：非平稳；或,平稳域判别法：非平稳。1,13,12| 122 不 小 于又为 AR 模型，故可逆。 (2)， 所以模型非平稳； 12.8.0416.2 ， 所以模型不可逆， .65.12综上，该模型非平稳、不可逆。 4、 设一元时间序列 服从如下的 AR(2) 模型 tXtttt X215.0其中 为服从正态分布的白噪音， ，试求：109.3,.2,t 1.0)(Var(1) 判断 是否平稳的，说出理由。tX(2) 计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值 95%的预

5、测区间（）96.175.0(3) 计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值解：(1) AR(2) 模型的滞后多项式为 25.01)(B由 ，可得方程的两个根为0)(B， ， ，iB1i21|B|2所以 是平稳的序列。或者特征根方法。tX(2) 基于 AR(2) 模型的预测公式知 2.013.5.0)1(90 X521对应的预测误差为 0G1所以预测误差的方差为 2100var().1eG)由，)1.0,()10Ne )2.0,()0Ne知预测值 95%的预测区间分别为，.*96.2.*96.5即第 11 期和 12 期的预测值 95%的预测区间分别为，8.0,43.0,(3) 根据已知的 AR(2)

6、 模型，可推出自相关函数满足，215.lll由 ， 知10， ，3/216/26/135、设一元时间序列 服从如下的 AR(2) 模型 tXttXB)3.01)(5.(其中 为滞后算子， ， 为服从正态分布的白噪音，B2.,.910t，试求1.0)(Var(1) 如果 AR(2) 模型用 形式表示时，则系数tttt XX21为多少，并判断 的平稳性，说出理由。21,t(2) 计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值 95%的预测区间（）96.75.0(3) 计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值解：(1) 根据滞后算子的定义 ，我们有1ttXBtttt 25.08.AR(2) 模型的滞后多项式

7、为 21.)(BB由 ，可得方程的两个根为0)(B， ， ，10/32|11|2所以 是平稳的序列。tX(1) 基于 AR(2) 模型的预测公式知 10109().8.50.83.05X12412对应的预测误差为 0G1所以预测误差的方差为 2100var().1e2G)64由，)1.0,()10Ne0(),.1)eN知预测值 95%的预测区间分别为，.596*.25.96*.4(2) 根据已知的 AR(2) 模型，可推出自相关函数满足，215.08.lll 由 ， 知10， ，6/23.94.223.036、设一元时间序列 服从如下的 ARMA(1,1) 模型 tXttttX116.08.其

8、中 ， 为服从正态分布的白噪音，0.,3.110t，试求：25.)(Var(1) 判断 是否平稳的，说出理由。tX(2) 把 ARMA(1,1) 模型表示为 的形式。)(MA(3) 给出下期的预测值，预测误差和误差的方差及预测值 95%的预测区间（ ） 。96.175.0解：(1) ARMA(1,1) 模型的自回归滞后多项式为 B8.01)(由 ，可得方程的 1 个根为0)(B4/5所以 是平稳的序列。tX(2) ttB)6.01()8.01(tt B)8.0.(2t).*6*.( 3jtjjt 118.06(3) 基于 ARMA(1,1)模型的预测公式知 234.06.2406.)(1101

9、0 X由于 0101,.860.2G所以预测误差的方差为2100().5VareG由10(),.)N知一步预测值 95%的预测区间分别为 .234.96*.025即第 101 期的预测值 95%的预测区间为 。3.,17、 设一元时间序列 满足如下方程tXtttX1其中 为已知常数， 为服从正态分布的白噪音， ，,0t 21)(Var试求(1) 判断 是否平稳的，说出理由。tX(2) 定义 ，判断 是否平稳的，说出理由。1ttttYtY(3) 计算 的 阶自协方差函数。tl(4) 计算 与 的自相关函数。tX1t解：(1) 根据关系式 知ttt 1 ttX210所以 知，期望为关于时间 的函数

10、，所以 是非平稳的序tXEt ttX列。(2) 由 的定义知，tY)0(MAYtt所以 平稳。t(3) 根据 知ttX21022121 )(,(),( ltCovXov lttlt (4) 显然 ，对 ，2Vart 0l。21()(,)ttto8、考虑一强平稳的 ARCH(1)过程如下和 ,ttX2102ttX其中 为服从 分布的白噪音，常数 ， ，记t)1,0(N)3/,(，试计算：,(Xtt(1) ；2)tE(2) 对 ， ；1k(|)tktVar(3) 把 表示 AR(1) 模型的形式；2tX(4) 。4()tE解：(1) 根据强平稳性，对上述方程两边取期望，并利用 和 的独立性知：tt

11、，)()()(21022 ttt XEEX可推出：。102(t(2) 当 时， 的条件方差为：1k1tX，2101(|)tttVarXX记 ，)|(11tttVar，2201(|)tttr所以，一般地有。201(|)tkttkaXX其中 。)|(121tktktVrX(3) 记 ，则有：)1(2tt 2222 1)(tttttX由 即知：102tt2102ttt X这为 AR(1)模型的表示形式。(4) 由 为服从 分布的白噪音知， ，t)1,0(N44()3()ttE而，)()(2)(412104 ttt XE所以。)(31()1204tX9、考虑一强平稳的 GARCH(1，1) 过程如下：

12、和 ttX212102tttX其中 为服从 分布的白噪音，常数 ， ，记 t)1,0(N0，试计算：,(tt(1) ；2)tEX(2) 对 ， ；1k(|)tktVar(3) 把 表示 ARMA 模型的形式；2t(4) 。4()tEX解：(1) 根据强平稳性，对上述方程两边取期望，并利用 和 的独立性知,tt)()()( 211022 ttt XEEX可推出。201()tEX(2) 当 时， 的条件方差为1k1tX，21011(|)ttttVar记 ， ， 为服从 分布的随机数)|(11tttr ttXt ),0(N222011(|)ttttrX所以，一般地有 22011(|)tkttktkVa其中 ， 。|121tktktXr ttktX(3) 记 ，则有)(tt 2222 1)(ttttt 由 即知1102tttX)(1212102 ttttt X这即为 ARMA(1，1)模型的表示形式。(4) 由 为服从 分布的白噪音知， ，t)1,0(N44()3()ttE而 21121021041241204 tttttt XXX所以 )(2(3) 121104tE10. 使用指数平滑法得到 ， ，已知序列观察值 ，5tx6.t 25.tx，求指数平滑系数 。 （5 分）5.1tx解： 25.0)1(2.)1(1 ttt x06.75.02.6)51tttx