椭圆的简单几何性质典型例题.doc

1、 1 / 20典型例题一例 1 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 为长轴端点时， ， ， a1b椭圆的标准方程为： ；142yx（2）当 为短轴端点时， ， ，0，Ab4a椭圆的标准方程为： ；1642yx说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解： ，312ca2ac e说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 ，求 ，再求比二是ac列含 和 的齐次方程

2、，再化含 的方程，解方程即可ace典型例题三例 3 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点，x01yxAB为 中点， 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程MABO解：由题意，设椭圆方程为 ，2ya2 / 20由 ，得 ，102yax02xa ， ，21aM 21ayM， ，42xykO2 为所求142说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例 4 椭圆 上不同三点 ， ， 与焦点 的1925yx1yxA， 594，B2yxC， 04，F距离成等差数列（1）求证

3、；821x（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 ACxTBk证明：（1）由椭圆方程知 ， ， 5a3b4c由圆锥曲线的统一定义知： ，xcF12 154exaAF同理 2C ，且 ，B9F ，5184521x即 821x（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为AC421y，3 / 2042211xyy又点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得Tx0，2104y又点 ， 都在椭圆上，1xA， xB， 21259y22x 21115xy将此式代入，并利用 的结论得823640x 590xkBT典型例题五例 5 已知椭圆 ， 、 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 ，使

4、 到1342yxF2 M左准线 的距离 是 与 的等比中项？若存在，则求出点 的坐标；若不存lMN1在，请说明理由解：假设 存在，设 ，由已知条件1yx，得， ， ， 2a3bc2e左准线 的方程是 ，l4x 14MN又由焦半径公式知：4 / 20，1112xeaMF2 ，21FN 11214xx整理得 083512x解之得 或 4152另一方面 2x则与矛盾，所以满足条件的点 不存在M说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也可设 存在，推出矛盾结论（读者

5、自己完成） sin3co2，典型例题六例 6 已知椭圆 ，求过点 且被 平分的弦所在的直线方程12yx21，P分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 ，利用条件求 kk解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 代入椭圆方程，k21xy并整理得0231221xkx由韦达定理得 21k 是弦中点， 故得 P21x21所以所求直线方程为 03y5 / 20分析二：设弦两端坐标为 、 ，列关于 、 、 、 的方程组，1yx， 2， 1x21y2从而求斜率： 21xy解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得，P1yxA， 2yxB，1.212121yxyx， ，得 0212y将、代入

6、得 ，即直线的斜率为 21x21所求直线方程为 034y说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法” 有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 ；62，（2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6x分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 求出 ，12byax482a，在得方程 后，不能依此写出另一方程

7、 372b137482yx 37486 / 20解：（1）设椭圆的标准方程为 或 12byax12bxa由已知 ba2又过点 ，因此有6，或 12ba12ba由、，得 ， 或 ， 故所求的方程为4837252a13b或 137482yx152x（2）设方程为 由已知， ， ，所以 故所求方程2bya3cb182a为 198yx说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数” 关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程 或 12byax12bxa典型例题八例 8 椭圆 的右焦点为 ，过点 ，点 在椭圆上，当126yxF31，AM为最小值时，求点 的坐标MFA2M分析：本题的关键是求

8、出离心率 ，把 转化为 到右准线的距离，从而得2e最小值一般地，求 均可用此法FA1解：由已知： ， 所以 ，右准线4ac1e8xl：过 作 ，垂足为 ，交椭圆于 ，故lQM显然 的最小值为 ，即MF2FA2AQ7 / 20为所求点，因此 ，且 在椭圆上故 所以 M3My 32Mx32，说明：本题关键在于未知式 中的“2”的处理事实上，如图， ，FA 1e即 是 到右准线的距离的一半，即图中的 ，问题转化为求椭圆上一点 ，使FQM到 的距离与到右准线距离之和取最小值A典型例题九例 9 求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值132yx06yx分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数

9、关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ，则点.sinco3yx， sinco3，到直线的距离为263si26sico3d当 时， 13sin最 小 值d说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率 ，已知点 到x23e230，P这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点 的距离等于7的点的坐标7分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 的最大d值时，要注意讨论 的取值范围此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，b要善于应用不等式、平面

10、几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形8 / 20数结合的思想，提高逻辑推理能力解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是 ，其中 待定12byax0ba由 可得2221bace，即 4312aba设椭圆上的点 到点 的距离是 ，则yx， Pd49312322 ybad4942yb其中 如果 ，则当 时， （从而 ）有最大值21bby2d由题设得 ，由此得 ，与 矛盾372137b因此必有 成立，于是当 时， （从而 ）有最大值21b21yd由题设得 ，可得 ， 347ba所求椭圆方程是 12yx由 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 ，点 到点21y 213， 213，的距离是 30

11、，P7解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 ，其中 ，待定，sincobyax0ba， 为参数20由 可得221abace9 / 20，即 214312eabba设椭圆上的点 到点 的距离为 ，则yx， 0，Pd2222 3sinco3bad49isin422b31i322b如果 ，即 ，则当 时， （从而 ）有最大值1b1sin2d由题设得 ，由此得 ，与 矛盾，因此必有223737b21b成立12b于是当 时 （从而 ）有最大值b21sind由题设知 ， ， 34712a所求椭圆的参数方程是 sincoyx由 ， ，可得椭圆上的是 ， 21sin23cos213， ，典型例题十一例

12、11 设 ， ， ，求 的最大值和最小值xRyxyx6322xy22分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程 与椭圆方程的结构一63致设 ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置mxy2关系求得最值解：由 ，得63210 / 20123492yx可见它表示一个椭圆，其中心在 点，焦点在 轴上，且过（0，0）点和0， x（3，0）点设 ，则mxy2211它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为 1m在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即 ，此时 ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即 ，1m 41m 15 的最小值为 0，最大值为 15xy22典型例题十二例 12 已知椭圆 ， 、 是其长轴的两个端点012bayxC： AB（1）过一个焦点 作垂直于长轴的弦 ，求证：不论 、 如何变化，FPab20APB（2）如果椭圆上存在一个点 ，使 ，求 的离心率 的取值范围Q120ABCe