椭圆知识点及经典例题.doc

1、1椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常 ,这个动P1F2 )2(211FaPF点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；)(2121P21若 ，则动点 的轨迹无图形.FPF知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中x 12byax)0(a22bac2当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；y2)( 223.椭圆的参数方程 )(sinco为 参 数bax注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2

2、在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ；)0(ba22bac3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；x)0,(c),当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ，y 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆： 的简单几何性质12bax)0(a（1）对称性：对于椭圆标准方程 ：说明：把 换成 、或把 换成12byx)0(axy、或把 、 同时换成 、 、原方程都不变，所以椭圆 是以 轴、 轴为yxy 12byax2对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线 和 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 ，axby

3、 ax。by（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 12byax)0(a， ， ， )0,(1A),(,1B,(2b线段 ， 分别叫做椭圆的长轴和短轴， , 。 和 分21 aA21bB21a别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 表示，记作 。eace2因为 ，所以 的取值范围是 。 越接近 1，则 就越接近 ，从而)0(cae)10(越小，因此椭圆越扁；反之， 越接近于 0， 就越接近 0，从而 越接近于 ，这2becb时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 时， ，这时两个焦点

4、重合，图形变为圆，方程为bac。ayx23注意： 椭圆 的图像中线段的几何特征（如下图）：12byax（1） ； ；)(21PFePMF21；)(21caM ； ； ；21BF)(21cOF221baBA（3） ； ； ；caAaAcPFc1知识点四：椭圆第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 内常数 ，那么这个点的轨),0(e迹叫做椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 就是离心率 奎 屯王 新 敞新 疆e左准线 右准线caxl21:caxl22:知识点五：椭圆的焦半径公式：（左焦半径） （右焦半径） 其中 是离心率 奎 屯王 新 敞新 疆

5、01exar02exare焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式：（ 其中 分别是椭圆的下上焦点） 奎 屯王 新 敞新 疆021eMF21,F知识点六：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交与 、 两点， 则bkxyl: AB),(),21yxB（弦长 2121)()(yAB2121()(kxx1k241xk知识点七：椭圆 与 12byax12bxa的区别和联系)0(ba4标准方程 12byax)0(a 12bxay)0(ba图形焦点 ，)0,(1cF),(2 ，),0(1cF),(2焦距 22范围 ，axby，bxay对称性 关于 轴、 轴和原点对称顶点 ，)0,(),

6、( ，),0(a),(轴长 长轴长= ，短轴长= a2b离心率 )10(ec准线方程 cax2cay2性质焦半径 ，01ePF02exaPF，01ePF02eyaPF注意：椭圆 ， 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关2byax2bxa)(系都有 和 ， ；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的)0()1(ec2c焦点坐标也不相同。规律方法：1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是5坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ；一个定位条件焦点坐标，由焦ba,点

7、坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量 的几何意义cba,椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：， ，且 。)0(ba)0(ca)(22cba可借助右图理解记忆： 显然： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条,直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 ， 的分母的2xy大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程 是表示椭圆的条件均 不 为 零 ）CBAyx,(2方程 可化

8、为 ，即 ，所以只有 A、B、C 同号，BA2 12yx12BCyAx且 A B 时，方程表示椭圆。当 时，椭圆的焦点在 轴上；当 时，椭圆的焦点在BCAx轴上。y5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；cba,定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为12byax)0(a，此类问题常用待定系数法求解。122mbyax)(7判断曲线关于 轴、 轴、原点对

9、称的依据： x 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；xy 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；yx 若把曲线方程中的 、 同时换成 、 ，方程不变，则曲线关于原点对称。68如何求解与焦点三角形PF 1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF 1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算解题。2121sinPFS将有关线段 ，有关角 ( )结合起来，建立211P、 21B、 之间的关系. 21F9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状

10、的变化。离心率 ，因为 ，)10(eac22bac，用 表示为 。0caba、 )10()12eabe显然：当 越小时， 越大，椭圆形状越扁；当 越大， 越小，椭圆形0(ab)10(e状越趋近于圆。经典例题：一、椭圆的定义例 1、已知 F1(-8，0)，F 2(8， 0)，动点 P 满足|PF 1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线例 2、椭圆 左右焦点为 F1、F 2，CD 为过 F1 的弦，则CDF2 的周长为_269xy二、椭圆的标准方程例 3、已知方程 表示椭圆，则 k 的取值范围是( )21ykA -10 C k0 D k1 或 k-1例

11、 4、已知方程 + my2=1，表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围为 .1x例 5、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为 10，短轴长为 6(2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2 ，1)(3) 经过点(5，1)，(3， 2)例 6、若ABC 顶点 B、C 坐标分别为 (-4，0)，(4 ，0)， AC、AB 边上的中线长之和为 30，求ABC 的重心 G 的轨迹方程。7例 7、 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动圆P03，A6432yxB：圆心 的轨迹方程例 8、已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过PP3542点作焦点所在

12、轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程三、离心率例 9、椭圆 的左右焦点分别是 F1、F 2，过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 P21(0)xyab点。若F 1PF2=60，则椭圆的离心率为 _例 10、已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为_例 11、椭圆 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总存在点 ，使12byax)0(xAP8( 为坐标原点)，求其离心率 的取值范围APOe四、最值问题例 12、椭圆 两焦点为 F1、F 2，点 P 在椭圆上，则|PF 1|PF2|的最大值为_，最小24xy值为_例 14、已知椭圆 ，A(1 ，0)，P 为

13、椭圆上任意一点，求|PA| 的最大值和最小值。2y六、直线和椭圆例 16、已知直线 l:y=2x+m，椭圆 C： ，试问当 m 为何值时：214xy(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.例 17、已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 的右焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的214xy长.9例 18、已知椭圆 及直线 142yxmxy（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程50例 19、已知椭圆 C： ，直线 l:y=kx+1,与 C 交于 AB 两点，k 为何值时，O AOB214xy10例 20、 已知椭圆 ，（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；2yx21，P（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1，A（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，PQOOPQ21OQPk求线段 中点 的轨迹方程 M