线性代数复习总结.doc

1、1概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nTArnxxAAAE可 逆 的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 无 关 的 特 征 值 全 不 为 0 只 有 零 解 ， 0总 有 唯 一 解是 正 定 矩 阵 R12,sipnBEAB 是 初 等 阵存 在 阶 矩 阵 使 得 或：全体 维实向量构成的集合 叫做 维向量空间.注 nR()ArnxA不 可 逆 0的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 相 关 是 的 特 征 值 有 非 零 解 ,其 基 础 解 系 即 为 关 于 0的 特 征 向 量注()abrEAnaEbAx 有 非 零 解=- :具 有向 量 组 等 价矩

2、 阵 等 价 ()反 身 性 、 对 称 性 、 传 递 性矩 阵 相 似矩 阵 合 同2 关于 ：12,ne称为 的标准基， 中的自然基，单位坐标向量 ；:n:87p教 材 线性无关；12,ne ； ；tr=E任意一个 维向量都可以用 线性表示.n12,ne行列式的定义 12121212 ()12 nnnnjn jjjnaaDa 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若 都是方阵（不必同阶）,则 （拉普拉斯展开式）AB与 =()mnAOABB1

3、上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.3关于副对角线： （即：所有取自不同行不同列的 个元素的乘积的代数和）(1)21122 111 nnnnnnaOaaa n范德蒙德行列式： 122112nijjinnnxxx矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的表 称为 矩阵.记作： 或m121212nmmnaaA ijmnAa伴随矩阵 ， 为 中各个元素的代数余子式.1212*12nTijnnA ij 逆矩阵的求法: ： 1A注 1abdbcdca主 换 位副 变 号 1()()E 初 等 行 变 换4 1231213aaa 3211123 aaa 方阵的幂的性质： mnA()mnnA 设

4、 的列向量为 , 的列向量为 ，,mnsB12,nB12,s则 ， 为 的解msAC112212 21, ,sn snnsbbc iAc (,)is12iiAxc可由 线性表示.即： 的列向量能由 的列向量线性表示， 为系数矩阵.121212,s sA 12,s 12,nCAB同理： 的行向量能由 的行向量线性表示， 为系数矩阵.CBTA即： 12112212nnmnmaac 12122122nmmnaac 用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量； 左 行用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量.右 列 两个同阶对角矩阵相乘只用

5、把对角线上的对应元素相乘.5 分块矩阵的转置矩阵：TTABCD分块矩阵的逆矩阵： 11 11ABB1ACAOBB11OOC分块对角阵相乘： ,1122,12AB12nA分块对角阵的伴随矩阵： *ABA*()()mnmnB 矩阵方程的解法( )：设法化成 0XXA(I) 或 (I)E 初 等 行 变 换(I的 解 法 ： 构 造TTBX)的 解 法 ： 将 等 式 两 边 转 置 化 为 ， 用 (I)的 方 法 求 出 ， 再 转 置 得 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个

6、数变动） 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动）6 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 .14p教 材 向量组 中任一向量 都是此向量组的线性组合.12,ni(1)n 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.n向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.12,n i1 维列向量组 线性相关 ；m,()rAn维列向量组 线性无关 .12n 若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法唯一.12,n 12,n 12,n 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩 矩阵的秩. 行阶

7、梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为01，且这些非零元所在列的其他元素都是 时，称为 行最简形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 ；A行 左 A7对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 .A列 右 A矩阵的秩 如果矩

8、阵 存在不为零的 阶子式，且任意 阶子式均为零，则称矩阵 的秩为 .记作rr1r()Ar向量组的秩 向量组 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 12,n 12(,n矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作：ABAB向量组等价 和 可以相互线性表示 . 记作：12,n12,n 1212,nn 矩阵 与 等价 ， 可逆 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.BPQ,(),r AB为 同 型 矩 阵矩阵 与 作为向量组等价A1212(, )nnr1212(, )nnr矩阵 与 等价. 向量组 可由向量组 线性表示 有解 .12,s12,nAXB12(,)=nr1212(,

9、)nsr12(,)sr12(,)nr 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关.ssn12,s向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 .12,s 12n 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向量组等价； s, 12(,)sr12(,)nr 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.8 设 是 矩阵,若 ， 的行向量线性无关；Amn()rAm若 ， 的列向量线性无关,即： 线性无关.n12,n 矩阵的秩的性质： ()AOr若 1()0AOr若 (

10、)mnrAi(,)()()TrArAp教 材 10,例 5 ()rkk 若 0 (),() 0mns rBnBr Ax 若 若 的 列 向 量 全 部 是 的 解 ()rAi, 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. ()rBA若 可 逆若 可 逆若 ；()()mnxrBrAABOC 只 有 零 解 在 矩 阵 乘 法 中 有 左 消 去 律若 ()()nsrrB 在 矩 阵 乘 法 中 有 右 消 去 律 . 等价标准型.()r rEOEA AO若 与 唯 一 的 等 价 ， 称 为 矩 阵 的 rB()rmax(),AB(,)()rBp教 材 709 ()AOrrABB ()ACrrBO1212 1

11、2, 0, (),Ann AnxnxAxrAAx 当 为 方 阵 时当 为 方 阵 时有 无 穷 多 解 表 示 法 不 唯 一线 性 相 关 有 非 零 解 可 由 线 性 表 示 有 解 有 唯 一 组 解 克 莱 姆 法 则表 示 法 唯 一 线12 7(), 1(n xrAxA 教 材 2 讲 义 8性 无 关 只 有 零 解 不 可 由 线 性 表 示 无 解 ：注Ax有 无 穷 多 解 其 导 出 组 有 非 零 解有 唯 一 解 其 导 出 组 只 有 零 解 线性方程组的矩阵式 向量式 Ax 12nxx1211122212,nmmnnmaabAx 12,jjmj101212(,)nx 矩阵转置的性质： ()TA()TAB()TkATA()TTAB11()(TA()TTA矩阵可逆的性质： 1111111kk伴随矩阵的性质： 2()n()()nkn*()11()A()kk ()1()10 nrArAn若若若 ABnAkABA（无条件恒成立）E