精算师考试金融数学课本知识精粹.doc

1、 1 第一篇：利息理论 第一章：利息的基本概念 tt0nt0( )=()()( ) ( 0)1)(dratata t eA n dt A n A、 有 关 利 息 力 :( ) ( )11( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )2mpmpidi v d e 、=131ttiitdid 、但 贴单 利 率 下 的 利 息 力：现 下 的 利 息 力4严 格 单 利 法 （ 英 国 法 ）投 资 期 的 确 定 常 规 单 利 法 （ 欧 洲 大 陆 法 ）银 行 家 规 则 （ 欧 洲 货 币 法 ）、 11nkkknkkstts5 、 等 时 间 法 ： 2 第二章 年金 . . . .1. .

2、 . .1+ i 11+ i 1nnnnnnnna a a as s s s （ 1 ） 、（ 1 ） . . . . . .2mn m n mmn m n mv a a av a a a 、 3、零头付款问题：（ 1）上浮式（ 2）常规（ 3）扣减式 4： 变利率年金（ 1）各付款期间段的利率不同 （ 2）各付款所依据的利率不同 5、付款频率与计息频率不同的年金 （ 1）付款频率低于计息频率的年金 :1.1.nkn kknkn kkass issaas iaa 现 值期 末 付 年 金 ： 永 续 年 金 现 值 ：终 值 ：现 值 ：期 初 付 年 金 ： 永 续 年 金 现 值 ：终 值

3、 : 3 （ 2）付款频率高于计息频率的年金 ()()()()()().()()().()1:1.( 1 ) 111.( 1 ) 1nmmnmnmmnm nnmmm nnmvaiiiivaddisi 现 值期 末 付 年 金 ： 永 续 年 金 现 值 ：终 值 ： s现 值 ：期 初 付 年 金 ： 永 续 年 金 现 值 ：终 值 :（ 3）连续年金（注意：与永续年金的区别） 001( 1 ) 1( 1 )nn tnnn ntnva v dtis i dt 4 6、基本年金变化 （ 1）各年付款额为等差数列 0.0 -10 1()()()= ( ) + ( )= ( ) + ( )nnnn

4、nnnnnnnnnnn n n nnn n n na nvV pa Qia n a nvI a aiia nv n aD a naiiV I a v D a a aV I a v D a a a 现 值期 末 付 虹 式 年 金 ：期 末 付 平 顶 虹 式 年 金 :（ 2）各年付款额为等比数列 0000:11 ( )1 :1:ni k VkniV i k Vi k ii k V 不 存 在不 存 在存 在7、更一般变化的年金： （ 1）在 ()nIa 的基础上，付款频率小于计息频率的形式 0 =nnkka n vakVis（ 2）在 ()nIa 的基础上，付款频率大于计息频率的形式 5 (

5、)().()()()()nm nmnnnmmna n vIaia n vIai（ m ）每 个 计 息 期 内 的 m 次 付 款 额 保 持 不 变每 个 计 息 期 内 的 m 次 付 款 额 保 持 不 变（ 3）连续变化年金： 1：有 n 个计息期，利率 为 i，在 t 时刻付款率为 t,其现值为 ()nnna n vIa 2：有 n 个计息期，利率为 i，在 t 时刻付款率为 ()ft ,其现值为 0(0 ) ( )n tV f t v d t 第三章 收益率 1、收益率（内部收益率） 由0( 0) 0n t ttV v R 可求出 2、收益率的唯一性： （ 1）若在 0n 期间内存

6、在一时刻 t， t之后的期间里现金流向是一致的， t 之前的期内的现金 流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。 6 （ 2）若在 0n-1 内各发生现金流的时刻，投资（包括支出及回收，总称投资）的积累额大于 0，则该现金流唯一。 3、再投资收益率： （ 1）情形一：在时刻 0投资 1单位， t时刻的积累值 : 1 nis （ 2 ） 情 形 二 ： 在 标 准 金 中 , t 时 刻 的 积 累 值 ：1() nnsnn i I s n ij 4、基金收益率： A：期初基金的资本量 B：期末基金的本息和 I：投资期内基金所得收入 tC ： t 时刻的现金流（ 01t ） C：在此期

7、间的现金流之和ttCC， （ 1）(1 )ttIi A C t （ 2） 2Ii A B I （现金流在 0-1期间内均匀分布） （ 3）(1 ) (1 )Ii k A k B k I （其中 ( / )ttk t C C） 注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益 率 5、时间加权收益率 12( 1 ) ( 1 ) ( ) 1mi i i i i 6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益 投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间相 联 系 的 利 率 ， 积 累 值 为 ：7 12112( 1 + ) (

8、 1 ) ( 1 ) . . . . . .( 1 + ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) . . . . . ( 1 + ) . . . . .y y yky y y y m y kmC i i i k mC i i i i i k m （ m为投资年法的年数，即若投资时间未满 m 年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投资组合法计算收益率。在 y年投资第 t年收益率记为 yti ） 7、股息贴现模型 （ 1）每期末支付股息 tD ，假定该股票的收益率为 r,则它的理论价格为： 1 (1 )n nnDp r （ 2）每期末支付股息以公比（ 1+g）呈等比增长，假定该股票的收益率为 r,-

9、1gr,则它的理论价格为： 1Dprg 8 第四章 债务偿还 1、分期偿还表（标准年金，贷款额 na ，年利率 i，每期末还款额为 1） 时刻 t 每次还款额 Rt 每次还款中所包含的自增利息 It 每次还款中所包含的本金 Pt 未偿还贷款余额 Bt 0 na1 1 ina=1 - vn 1 - ina= vn na- vn=1na2 1 1 - vn - 1vn - 1 2na t 1 1 - vn - t +1vn - t +1 nta n - 1 1 1 - v2 v2 1an 1 1 - v v 0 总计 n nna na第 k 期偿还款中的利息部分记为 kI ；本金部分为 kp +1

10、1 nkkIv 1= nkkpv 2、连续偿还的分期偿还表 B( 1 )pt ntrtnt tatB a i S 时 刻 的 余 额 9 11tttIBtp I B 时 刻 偿 还 的 本 金 利 息 3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表 （ 1）若偿还期计息 k次（偿还频率小于计息频率） 时刻 s 还款额 Rs 还款额中的利息部分 Is 还款额中的本金部分 Ps 贷款余额 Bs 0 /nkask 1 (1+ i )k- 1 /nkas=1 - vnRk- Ik= vnB0- Pk=/n k kas2 k 1 1 - vn - kvn - k2/n k kas t k 1 1 - vn -

11、( t - 1) kvn - ( t - 1) k/n t k kas n - k 1 1 - v2 kv2 k/kkasn 1 1 - vkvk0 总计 n / k n / k -/nkas/nkas10 （ 2）若每计息期偿还嗲款 m次（偿还频率大于计息频率） 表（ 4 - 4 ）() mna的 分期偿还表 时刻 s 还款额 Rs 还款额中的利息部分 Is 还款额中的本金部分 Ps 贷款余额 Bs 0 () mna1/ m 1/ m ()01( 1 )mniBvmmR1/ m I1/ m=nvm1()0 1 /1/mmnmB P a2/ m 1/ m 11( 1 )nmvmmnvm11()2/mnma t / m 1/ m 11( 1 )tnmvm11tnmvm()/mn t ma n - 1/ m 1/ m 21( 1 )mvmmvm21()1/mman 1/ m 11( 1 )mvmmvm110 总计 n n -() mna() mna