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数学分析知识点总结.doc

1、1第一章实数集与函数1实数授课章节:第一章实数集与函数1 实数教学目的:使学生掌握实数的基本性质教学重点:(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性;(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式 (它们是分析论证的重要工具)教学难点:实数集的概念及其应用教学方法:讲授 (部分内容自学)教学程序:引 言上节课中,我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始,我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容首先,从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题为什么从“实数”开始答:数学分析研究的基本对象是函数,但这里的“函数”是定义在“实数集”上的(后继

2、课复变函数研究的是定义在复数集上的函数) 为此,我们要先了解一下实数的有关性质一、实数及其性质1、实数 (,qp 有 理 数 :任 何 有 理 数 都 可 以 用 分 数 形 式 为 整 数 且 0)表 示 ,也 可 以 用 有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 小 数 来 表 示 .无 理 数 :用 无 限 十 进 不 循 环 小 数 表 示 . |Rx一-一问题有理数与无理数的表示不统一,这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要,我们把“有限小数” (包括整数)也表示为“无限小数”为此作如下规定:对于正有限小数 其中012.,nxa,记 ;009,i na 为 非 负 整 数 01.

3、()9nxa 对于正整数 则记 ;对于负有限小数(包括负整数)0,x().9x,则先将 表示为无限小数,现在所得的小数之前加负号0 表示为yy0 .例: ;2.02利用上述规定,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示在此规定下,如何比较实数的大小?2、两实数大小的比较1)定义 1给定两个非负实数 , . 其中01.nxa 01.nyb 为非负整数, 为整数, 若有0,ab,kab(,2) 9,kk,则称 与 相等,记为 ;若 或存在非负整数 ,,2k xyxy0al使得 ,而 ,则称 大于 或 小于 ,分别记为,01,kl 1llbx或 对于负实数 、 ,若按上述规定分别有 或 ,xyx y则

4、分别称为 与 (或 ) yyx规定:任何非负实数大于任何负实数2)实数比较大小的等价条件(通过有限小数来比较) 定义 2(不足近似与过剩近似): 为非负实数,称有理数01.na 为实数 的 位不足近似; 称为实数 的 位过剩近01.nnxa xnnxxn似, .,对于负实数 ,其 位不足近似 ; 位01.nxa 01.nnxa过剩近似 .n注:实数 的不足近似 当 增大时不减,即有 ; 过剩近xnx012x似 当 n增大时不增,即有 x012命题:记 , 为两个实数,则 的等价条01.nxa .nyb xy件是:存在非负整数 n,使 (其中 为 的 位不足近似, 为 的nxxn位过剩近似) n

5、命题应用例 1设 为实数, ,证明存在有理数 ,满足 ,xyyrxry证明:由 ,知:存在非负整数 n,使得 令 ,则nxy12nr为有理数,且32.901.9 ; ;3即 nnxryxry3、实数常用性质(详见附录 ) 28930P1)封闭性(实数集 对 )四则运算是封闭的即任意两个实数的R,和、差、积、商(除数不为 0)仍是实数2)有序性: ,关系 ,三者必居其一,也只居其一.,ab,ab3)传递性: , c, , ca若 , 则4)阿基米德性: 使得 ,0RnNb5)稠密性:两个不等的实数之间总有另一个实数6)一一对应关系:实数集 与数轴上的点有着一一对应关系例 2设 ,证明:若对任何正

6、数 ,有 ,则 ,abaa(提示:反证法利用“有序性” ,取 )b二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数 的绝对值的定义为 a,0|a2、几何意义从数轴看,数 的绝对值 就是点 到原点的距离 表示就是数轴|a|xa上点 与 之间的距离xa3、性质1) (非负性) ; |0;|02) ;|a3) , ;|hh| .(0)aha4)对任何 有 (三角不等式) ;,bR|bb5) ; |a6) ( ) |b0三、几个重要不等式1、 ,22a.1sinx. sinx42、均值不等式:对 记,21Rna(算术平均值),1 )( nii aaM(几何平均值),)(121ninniaG(调和平均值).112

7、1 ninii aaaH有平均值不等式: 即:),( )(iiiMG121212 nnnaa等号当且仅当 时成立.n3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式,1x(1, .nxN当 且 , 且 时,有严格不等式0N2.1)(nx证:由 且x 1)( nnx.1)(nn.x4、利用二项展开式得到的不等式:对 由二项展开式,0h,!3)2(1!2)()1( 3nn hnh有 上式右端任何一项.h 练习P45课堂小结:实数: .一 实 数 及 其 性 质二 绝 对 值 与 不 等 式作业P41(1),2(2)、(3),32数集和确界原理授课章节:第一章实数集与函数2 数

8、集和确界原理5教学目的:使学生掌握确界原理,建立起实数确界的清晰概念.教学要求:(1)掌握邻域的概念;(2)理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点:确界的概念及其有关性质(确界原理).教学难点:确界的定义及其应用.教学方法:讲授为主.教学程序:先通过练习形式复习上节课的内容,以检验学习效果,此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论;此后又让大家自学了第一章1 实数的相关内容.下面,我们先来检验一下自学的效果如何!1、证明:对任何 有:(1) ;(2) xR|1|2|x.|2|3|x( )1(),1xx( )( ),2123.x(

9、) 三 式 相 加 化 简 即 可2、证明: .|yx3、设 ,证明:若对任何正数 有 ,则 .,abRabab4、设 ,证明:存在有理数 满足 .xyryrx引申:由题 1可联想到什么样的结论呢?这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了!而要多想想,能否具体问题引出一般的结论:一般的方法?由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同;理论性强,概念性强,推理有理有据,而非凭空想象;课后未布置作业的习题要尽可能多做,以加深理解,语言应用.提请注意这种差别,尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容:1、先定义实数集 R中的两类主要的数集区间与邻域;2、讨论有界集与无界集;3

10、、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理(确界原理).一 、区间与邻域1、区间(用来表示变量的变化范围)设 且 . ,其中,abR有 限 区 间区 间 无 限 区 间6|(,)|,|,)(xRabxabR 开 区 间 : 闭 区 间 : 有 限 区 间 闭 开 区 间 :半 开 半 闭 区 间 开 闭 区 间|,).(|,.)| .xRaxxR无 限 区 间2、邻域联想:“邻居”.字面意思:“邻近的区域”.与 邻近的“区域”很多,a到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢?就是“关于 的对称区间” ;如何用数学语言来表达呢?(1) 的 邻域:设 ,满足不等式 的全体实数 的集a,0aR|xx合称为

11、点 的 邻域,记作 ,或简记为 ,即(;)U()Ua.(;)|,Ux其中 a称 为 该 邻 域 的 中 心 , 称 为 该 邻 域 的 半 径 .(2)点 的空心 邻域.(;)0|(,)(,)(o oxaaUa(3) 的 右邻域和点 的空心 右邻域a00(;),)(;.UUxaaa (4)点 的 左邻域和点 的空心 左邻域00(;),();) .x(5) 邻域, 邻域, 邻域(其中 M为充分大的正数) ;()|,Ux()Ux二 、有界集与无界集71、 定义 1(上、下界):设 为 中的一个数集.若存在数 ,使得一切SR()ML都有 ,则称 S为有上(下)界的数集.数 称为 S的xS()MxL上

12、界(下界) ;若数集 S既有上界,又有下界,则称 S为有界集.闭区间 、开区间 为有限数) 、邻域等都是有界数集, ,abba,( )集合 也是有界数集.),sin xyE若数集 S不是有界集,则称 S为无界集.等都是无界数集, ) 0(,) (,) (集合 也是无界数集. 1, , xyE注:1)上(下)界若存在,不唯一;2)上(下)界与 S的关系如何?看下例:例 1 讨论数集 的有界性.|Nn为 正 整 数解:任取 ,显然有 ,所以 有下界 1;0n01N但 无上界.因为假设 有上界 M,则 M0,按定义,对任意 ,都 0nN有 ,这是不可能的,如取0M则 ,且 .1nM( 符 号 表 示

13、 不 超 过 的 最 大 整 数 ) , 0n0M综上所述知: 是有下界无上界的数集,因而是无界集.N例 2证明:(1)任何有限区间都是有界集;(2)无限区间都是无界集;(3)由有限个数组成的数集是有界集.问题:若数集 S有上界,上界是唯一的吗?对下界呢?(答:不唯一 ,有无穷多个).三 、确界与确界原理1、定义定义 2(上确界) 设 S是 R中的一个数集,若数 满足:(1) 对一切有 (即 是 S的上界); (2) 对任何 ,存在 ,使得,xS 0xS(即 是 S的上界中最小的一个) ,则称数 为数集 S的上确界,记作0sup.8从定义中可以得出:上确界就是上界中的最小者.命题 1 充要条件

14、supME1) ;,x2) .00,oSxM使 得证明:必要性,用反证法.设 2)不成立,则, 与 是上界中最小的一个矛盾.0,o使 得 均 有充分性(用反证法) ,设 不是 E的上确界,即 是上界,但 .0M0令 ,由 2) , ,使得 ,与 是 E的上界矛0M0x0x0盾.定义 3(下确界)设 S是 R中的一个数集,若数 满足:(1)对一切有 (即 是 S的下界) ;(2)对任何 ,存在 ,使得,xS0xS(即 是 S的下界中最大的一个) ,则称数 为数集 S的下确界,记作0.inf从定义中可以得出:下确界就是下界中的最大者.命题 2 的充要条件:ifS1) ;,xE2) 0, 00,x有

15、 .上确界与下确界统称为确界.例 3(1) 则 1 ; 0 .,) 1(nSsupSinfS(2) 则 1 ; 0 .),0( ,i xyEsupinfS注:非空有界数集的上(或下)确界是唯一的.命题 3:设数集 有上(下)确界,则这上(下)确界必是唯一的.A证明:设 , 且 ,则不妨设supsAx有 对 , 使 ,矛盾.sup0x0x9例: , ,sup0Rsup1nZ1inf2Z则有 .5,39Eif5E开区间 与闭区间 有相同的上确界 与下确界,ab,abba例 4设 和 是非空数集,且有 则有 .SA.ASinfi ,supASS例 5设 和 是非空数集.若对 和 都有 则有Bx,By

16、yxinfsup证明: 是 的上界, 是 的下界,yA.sup yAsup .ifs BA例 6 和 为非空数集, 试证明:.BS. inf, miinfBAS证明: 有 或 由 和 分别是 和 的下界,有xA,xAif或inf . if, .if B即 是数集 的下界, ,mBS又 的下界就是 的下界,. inf,iif ASSA ,A是 的下界, 是 的下界, 同理有n ;infi.ifiB于是有 . inf, miBS综上,有 .nfA1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例 3为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 为数集.E(1) 的最值必属于 ,但确界未必,确界是一种临界

17、点.E(2)非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.(3)若 存在,必有 对下确界有类似的结论.maxsupax4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设 非空的数集 .若 有上界,则 必有上确界;若 有SSSS下界,则 必有下确界.S10这里我们给一个可以接受的说明 非空, Ex,我们可以找到一,ER个整数 ,使得 p不是 上界,而 是 的上界.然后我们遍查1p9.,2.,1p和 1,我们可以找到一个 0q, 90,使得 0.qp不是E上界, )(0q是 E上界,如果再找第二位小数 1, , 如此下去,最后得到 210.,它是一个实数,即为 E的上确界.证明:(书上对上确界的

18、情况给出证明,下面讲对下确界的证明)不妨设S中的元素都为非负数,则存在非负整数 n,使得1) Sx,有 n;2)存在 1,有 1x;把区间 ,(n10等分,分点为 n.1, .2, , .9, 存在 1n,使得1) ,有; 1.;2)存在 Sx2,使得 102.n再对开区间 10等分,同理存在 2,使得1(.,0n1)对任何 ,有 21.x;2)存在 2x,使 02n继续重复此步骤,知对任何 ,k,存在 kn使得1)对任何 S, k1021. ;2)存在 xk, k 因此得到 n21.以下证明 Sif()对任意 , x;()对任何 ,存在 使 x作业:P9 1(1) , (2) ; 2; 4(2) 、 (4) ;3函数概念授课章节:第一章实数集与函数3 函数概念教学目的:使学生深刻理解函数概念.教学要求:()深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义,熟悉函数的各种表示法;()牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域,会分析初等函数的复合关系.教学重点:函数的概念.教学难点:初等函数复合关系的分析.教学方法:课堂讲授,辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序:引 言

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