数学分析知识点总结.doc

1、1第一章实数集与函数1实数授课章节：第一章实数集与函数1 实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式 （它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用教学方法：讲授 （部分内容自学）教学程序：引 言上节课中，我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题为什么从“实数”开始答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继

2、课复变函数研究的是定义在复数集上的函数） 为此，我们要先了解一下实数的有关性质一、实数及其性质1、实数 (,qp 有 理 数 :任 何 有 理 数 都 可 以 用 分 数 形 式 为 整 数 且 0)表 示 ，也 可 以 用 有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 小 数 来 表 示 .无 理 数 :用 无 限 十 进 不 循 环 小 数 表 示 . |Rx一-一问题有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数” （包括整数）也表示为“无限小数”为此作如下规定：对于正有限小数 其中012.,nxa，记 ；009,i na 为 非 负 整 数 01.

3、()9nxa 对于正整数 则记 ；对于负有限小数（包括负整数）0,x().9x，则先将 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号0 表示为yy0 .例： ；2.02利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义 1给定两个非负实数 ， . 其中01.nxa 01.nyb 为非负整数， 为整数， 若有0,ab,kab(,2) 9,kk，则称 与 相等，记为 ；若 或存在非负整数 ，,2k xyxy0al使得 ，而 ，则称 大于 或 小于 ，分别记为,01,kl 1llbx或 对于负实数 、 ，若按上述规定分别有 或 ，xyx y则

4、分别称为 与 （或 ） yyx规定：任何非负实数大于任何负实数2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较） 定义 2（不足近似与过剩近似）： 为非负实数，称有理数01.na 为实数 的 位不足近似； 称为实数 的 位过剩近01.nnxa xnnxxn似， .,对于负实数 ，其 位不足近似 ； 位01.nxa 01.nnxa过剩近似 .n注：实数 的不足近似 当 增大时不减，即有 ； 过剩近xnx012x似 当 n增大时不增，即有 x012命题：记 ， 为两个实数，则 的等价条01.nxa .nyb xy件是：存在非负整数 n，使 （其中 为 的 位不足近似， 为 的nxxn位过剩近似） n

5、命题应用例 1设 为实数， ，证明存在有理数 ，满足 ,xyyrxry证明：由 ，知：存在非负整数 n，使得 令 ，则nxy12nr为有理数，且32.901.9 ； ；3即 nnxryxry3、实数常用性质（详见附录 ） 28930P1）封闭性（实数集 对 ）四则运算是封闭的即任意两个实数的R,和、差、积、商（除数不为 0）仍是实数2）有序性： ，关系 ，三者必居其一，也只居其一.,ab,ab3）传递性： ， c， ， ca若 ， 则4）阿基米德性： 使得 ,0RnNb5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数6）一一对应关系：实数集 与数轴上的点有着一一对应关系例 2设 ，证明：若对任何正

6、数 ，有 ，则 ,abaa（提示：反证法利用“有序性” ，取 ）b二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数 的绝对值的定义为 a,0|a2、几何意义从数轴看，数 的绝对值 就是点 到原点的距离 表示就是数轴|a|xa上点 与 之间的距离xa3、性质1） （非负性） ； |0;|02） ；|a3） ， ；|hh| .(0)aha4）对任何 有 （三角不等式） ；,bR|bb5） ； |a6） （ ） |b0三、几个重要不等式1、 ,22a.1sinx. sinx42、均值不等式:对 记,21Rna(算术平均值),1 )( nii aaM(几何平均值),)(121ninniaG(调和平均值).112

7、1 ninii aaaH有平均值不等式: 即：),( )(iiiMG121212 nnnaa等号当且仅当 时成立.n3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式,1x(1, .nxN当 且 , 且 时,有严格不等式0N2.1)(nx证：由 且x 1)( nnx.1)(nn.x4、利用二项展开式得到的不等式:对 由二项展开式,0h,!3)2(1!2)()1( 3nn hnh有 上式右端任何一项.h 练习P45课堂小结：实数： .一 实 数 及 其 性 质二 绝 对 值 与 不 等 式作业P41(1)，2(2)、(3)，32数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数2 数

8、集和确界原理5教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章1 实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何 有：(1) ；(2) xR|1|2|x.|2|3|x（ ）1(),1xx（ ）（ ）,2123.x（

9、） 三 式 相 加 化 简 即 可2、证明： .|yx3、设 ，证明：若对任何正数 有 ，则 .,abRabab4、设 ，证明：存在有理数 满足 .xyryrx引申：由题 1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集 R中的两类主要的数集区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3

10、、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）设 且 . ，其中,abR有 限 区 间区 间 无 限 区 间6|(,)|,|,)(xRabxabR 开 区 间 : 闭 区 间 : 有 限 区 间 闭 开 区 间 :半 开 半 闭 区 间 开 闭 区 间|,).(|,.)| .xRaxxR无 限 区 间2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与 邻近的“区域”很多，a到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 的对称区间” ；如何用数学语言来表达呢？（1） 的 邻域：设 ，满足不等式 的全体实数 的集a,0aR|xx合称为

11、点 的 邻域，记作 ，或简记为 ，即(;)U()Ua.(;)|,Ux其中 a称 为 该 邻 域 的 中 心 ， 称 为 该 邻 域 的 半 径 .（2）点 的空心 邻域.(;)0|(,)(,)(o oxaaUa（3） 的 右邻域和点 的空心 右邻域a00(;),)(;.UUxaaa （4）点 的 左邻域和点 的空心 左邻域00(;),();) .x（5） 邻域， 邻域， 邻域（其中 M为充分大的正数） ；()|,Ux()Ux二 、有界集与无界集71、 定义 1（上、下界）：设 为 中的一个数集.若存在数 ，使得一切SR()ML都有 ，则称 S为有上（下）界的数集.数 称为 S的xS()MxL上

12、界（下界） ；若数集 S既有上界，又有下界，则称 S为有界集.闭区间 、开区间 为有限数） 、邻域等都是有界数集， ,abba,( )集合 也是有界数集.),sin xyE若数集 S不是有界集，则称 S为无界集.等都是无界数集, ) 0(,) (,) (集合 也是无界数集. 1, , xyE注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与 S的关系如何？看下例：例 1 讨论数集 的有界性.|Nn为 正 整 数解：任取 ，显然有 ，所以 有下界 1；0n01N但 无上界.因为假设 有上界 M,则 M0，按定义，对任意 ，都 0nN有 ，这是不可能的，如取0M则 ，且 .1nM（ 符 号 表 示

13、 不 超 过 的 最 大 整 数 ） ， 0n0M综上所述知： 是有下界无上界的数集，因而是无界集.N例 2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.问题：若数集 S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).三 、确界与确界原理1、定义定义 2（上确界） 设 S是 R中的一个数集，若数 满足：(1) 对一切有 （即 是 S的上界）; (2) 对任何 ，存在 ，使得,xS 0xS（即 是 S的上界中最小的一个） ，则称数 为数集 S的上确界，记作0sup.8从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题 1 充要条件

14、supME1） ；,x2） .00,oSxM使 得证明：必要性，用反证法.设 2）不成立，则， 与 是上界中最小的一个矛盾.0,o使 得 均 有充分性（用反证法） ，设 不是 E的上确界，即 是上界，但 .0M0令 ，由 2） ， ，使得 ，与 是 E的上界矛0M0x0x0盾.定义 3（下确界）设 S是 R中的一个数集，若数 满足：（1）对一切有 （即 是 S的下界） ；（2）对任何 ，存在 ，使得,xS0xS（即 是 S的下界中最大的一个） ，则称数 为数集 S的下确界，记作0.inf从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题 2 的充要条件：ifS1） ；,xE2） 0， 00,x有

15、 .上确界与下确界统称为确界.例 3（1） 则 1 ； 0 .,) 1(nSsupSinfS（2） 则 1 ； 0 .),0( ,i xyEsupinfS注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题 3：设数集 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.A证明：设 ， 且 ，则不妨设supsAx有 对 ， 使 ，矛盾.sup0x0x9例： ， ，sup0Rsup1nZ1inf2Z则有 .5,39Eif5E开区间 与闭区间 有相同的上确界 与下确界,ab,abba例 4设 和 是非空数集，且有 则有 .SA.ASinfi ,supASS例 5设 和 是非空数集.若对 和 都有 则有Bx,By

16、yxinfsup证明： 是 的上界, 是 的下界,yA.sup yAsup .ifs BA例 6 和 为非空数集, 试证明:.BS. inf, miinfBAS证明： 有 或 由 和 分别是 和 的下界,有xA,xAif或inf . if, .if B即 是数集 的下界, ,mBS又 的下界就是 的下界,. inf,iif ASSA ,A是 的下界, 是 的下界, 同理有n ;infi.ifiB于是有 . inf, miBS综上,有 .nfA1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例 3为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 为数集.E（1） 的最值必属于 ,但确界未必,确界是一种临界

17、点.E（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若 存在,必有 对下确界有类似的结论.maxsupax4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设 非空的数集 .若 有上界，则 必有上确界；若 有SSSS下界，则 必有下确界.S10这里我们给一个可以接受的说明 非空， Ex，我们可以找到一,ER个整数 ，使得 p不是 上界，而 是 的上界.然后我们遍查1p9.,2.,1p和 1，我们可以找到一个 0q， 90，使得 0.qp不是E上界， )(0q是 E上界，如果再找第二位小数 1， , 如此下去，最后得到 210.，它是一个实数，即为 E的上确界.证明：（书上对上确界的

18、情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S中的元素都为非负数，则存在非负整数 n，使得1） Sx，有 n；2）存在 1，有 1x；把区间 ,(n10等分，分点为 n.1， .2， , .9, 存在 1n，使得1） ，有； 1.；2）存在 Sx2，使得 102.n再对开区间 10等分，同理存在 2，使得1(.,0n1）对任何 ，有 21.x；2）存在 2x，使 02n继续重复此步骤，知对任何 ,k，存在 kn使得1）对任何 S， k1021. ；2）存在 xk， k 因此得到 n21.以下证明 Sif（）对任意 ， x；（）对任何 ，存在 使 x作业：P9 1（1） ， （2） ； 2； 4（2） 、 （4） ；3函数概念授课章节：第一章实数集与函数3 函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求：（）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引 言