九年级数学图形的相似带答案.doc

1、 1第 3 章 图形的相似【经典例题】1.（2014 湖北咸宁，6，3 分）如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形， O 为位似中心，相似比为 1 ，点2A 的坐标为(1，0)，则 E 点的坐标为（ ） 2（第 6 题）yxAOC BDEFA( ，0) B( ， ) C( ， ) D(2，2) 2232【解析】由已知得， E 点的坐标就是点 A 坐标的 倍【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似2.(2014山东日照，8，3分)在菱形 ABCD中， E是 BC边上的点，连接 AE交 BD于点F, 若 EC=2BE,则 的值是（ ）FDBAB CDF

2、EA. B. C. D.21314151解析：如图，由菱形 ABCD 得 ADBE,，所以BEFADF, 又由 EC=2BE,得 AD=BC=3BE,故 = = .FDBAE31解答：选 B点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014湖南省张家界市10 题3 分）已知 ABC 与 DEF 相似且面积比为 425，则 BC 与 E 的相似比为 【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】 ABC 与 DEF 的相似比为 = .254【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014 山东省滨州，18，4 分）如图，锐角三角形

3、ABC 的边 AB，AC 上的高线 CE 和 BF 相交于点 D，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接） 【解析】 （）由于BDE=CDFBED=CFD=90，可得BDECDF。由于A=A，AFB=AEC=90，可得ABFACE。解：（1）在BDE 和CDF 中BDE=CDFBED=CFD=90，BDECDF（2）在ABF 和ACE 中，A=A，AFB=AEC=90，ABFACE【答案】BDECDF，ABFACE3【点评】本题考查相似三角形的判定方法三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS 等5.(2014 贵州黔西南州，17，3 分)如图 5，在梯形 ABCD 中，AD

4、BC，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AD=1，BC=3，AOD 的面积为 3，则BOC 的面积为_【解析】由题意知 ADBC，所以OAD=OCB，ODA=OBC，所以OADOCB又 AD=1，BC=3，所以OAD 与OCB 的相似比为 1:3，面积之比为 1:9，而AOD 的面积为 3，所以BOC 的面积为 27【答案】27【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键6.（2014 贵州遵义，7,3 分）如图，在ABC 中，EFBC， = ，S 四边形 BCFE=8，则 SABC =（ ）A 9 B 10 C 12 D 13解析：求出 的值，推出 AEFA

5、BC ，得出 = ，把 S 四边形 BCFE=8 代入求出即可解： = ， = = ，EFBC，AEFABC， = = ，9S AEF =SABC ，S 四边形 BCFE=8，9（S ABC 8）=S ABC ，解得：S ABC =9故选 A答案： A点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目7.（2014 南京市，15，2）如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=10 厘米，CD=6 厘米，E 为 AD 上一点，且 BE=BC,CE=CD，则 DE= 厘米. DCBA E解析：BCE 与CDE 均为等腰三角形

6、，且两个底角DEC=BCE，BCECDE， = ,CDBE4 = ,DE=3.6 厘米 .610DE答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.8.(2014 山东日照，21，9 分) 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 上的一点,连结 AE，作 BF AE，垂足为 H,交 CD 于F,作 CG AE,交 BF 于 G.(1)求证 CG=BH;(2)FC2=BFGF;(3) = .2ABCBACDHEFG解析：(1)可证 ABH BCG；(2)证 CFG BFC 可得；(3)先证B CG BFC 得 BC2=BFBG,结合 AB=BC 可得.证明： （1）

7、BF AE， CG AE, CG BF, CG BF.在正方形 ABCD 中， ABH+ CBG=90o, CBG+ BCG=90o, BAH+ ABH=90o, BAH= CBG, ABH= BCG, AB=BC, ABH BCG, CG=BH; (2) BFC= CFG, BCF= CGF=90 o, CFG BFC, ,FCGB即 FC2=BFGF; (3) 由（2）可知， BC2=BGBF, AB=BC, AB2=BGBF, = =2BCFGBF5即 = 2ABFCG点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等

8、（或相似）的条件.9.(2014 海南省，12，3 分）12、如图 3，在ABC 中，ACB= 09，CDAB，于点 D，则图中相似三角形共有（ ） CDBAA、1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：BDCBCACDA【答案】C【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。难度中等。10 （2014 四川内江，11，3 分）如图，在等边三角形 ABC 中， D 为 BC 边上一点， E 为 AC 边上一点，且 ADE=60，BD=4， CE= 4，则 ABC 的面积是（ ）A8 B15 C9 3 D12 3【思

9、路分析】 ADC= ADE + EDC = B + BAD， ADE= B=60， EDC = BAD又 C= B=60， ABD DEC, EC:BD=DC:AB=1:3, AB=BC=3DC, BD=2DC， DC=2， BC=6，ABC 的面积是 9 3【答案】C【点评】图形中不存在全等形、不存在直角，可通过相似列比例式求解11. （山东省威，3,3 分）在 ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，连接 BE，交 AC 于点 F，则 AF:CF=( ).A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5【解题思路】利用AEF 与CBF 相似，将 AF:CF 转化成 AE:BC 的比值.【答案

10、】A.【点评】本题考查到了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，求两线段的比值一般情况都利用相似来进行转化.难度较小.12（2014 广东省，3，3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 21，得到的图形是（ A ）ED CBAABDC题 3 图FED CBA6【解题思路】图形缩小，就是“大小变化而形状不变”，可判断选 A 符合要求.【答案】A【点评】本题考查图形的变换规律，解决关键要抓住图形是“大小变化而形状不变”这一本质，即图形相似. 难度较小.13 （2014 山东潍坊，3，3 分）如图，ABC 中，BC = 2，DE 是它的中位线，下面三个结论：DE=1；ADEABC；ADE 的面积与

11、ABC 的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（ ）A 0 个 B1 个 C 2 个 D3 个【解题思路】因为 DE 是三角形的中位线，所以 DE= 12BC=1，DEBC，所以ADEABC，所以 SADE ：S ABC=2()DEAB=1= 4【答案】D【点拨】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定三角形的中位线是指连接三角形任意两边中点的线段，它平行于第三边且等于第三边的一半所构成的三角形与原三角形相似相似三角形的面积比等于相似比的平方难度中等14.（2014 年广西玉林市，10，3）如图，正方形 ABCD 的两边 BC、AB 分别在平面直角坐标系内的 x 轴、y 轴的正半轴上，

12、正方形 ABCD与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O为中心的位似图形，已知 AC= ，若点 A的坐标为23（1，2），则正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是（ ）分析：延长 AB交 BC 于点 E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比解：在正方形 ABCD 中，AC= BC=AB=3，23延长 AB交 BC 于点 E，点 A的坐标为（1，2），郑颖杰7OE=1，EC=AE=3-1=2，正方形 ABCD的边长为 1，正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是 故选 B31点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键

13、是根据已知条件求得两个正方形的边长15.（2014 陕西 18，6 分）如图，在 中， 的平分线 分别与 、 交于点 、 ABCDFACDEF（1）求证： ；ABF（2）当 时，求 的值35C， E【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由 先求出 ，再求 .EBEA【答案】解：（1）如图，在 中， ，ABD/BC 3 是 的平分线，BFA 2 （2） 23ECB， ， ，AF ，35 8【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、相似三角形的性质等.难度中等.16.已知：如图正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点求证：AD

14、QQCP思路点拨：因ADQ 与QCP 是直角三角形，虽有相等的直角，但不知 AQ 与 PQ 是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定而四边形 ABCD 是正方形，Q 是 CD 中点，而 BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定具体证明过程如下：证明：在正方形 ABCD 中，Q 是 CD 的中点， =2 =3， =4 又BC=2DQ， =2 8在ADQ 和QCP 中， = ，C=D=90，ADQQCP17.已知：如图，AD 是ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点求证：DFEABC思路点拨：EF 为ABC 的中位线，EF= BC，又 DE 和 DF 都是直角三角形斜边上的中

15、线，DE= AB，DF= AC因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似证明：在 RtABD 中，DE 为斜边 AB 上的中线， DE= AB，即 = 同理 = EF 为ABC 的中位线， EF= BC，即 = = = DFEABC总结升华：本题证明方法较多，可先证EDF=EDA+ADF=EAD+FAD=BAC，再证夹这个角的两边成比例，即 = ，也可证明FED=EDB=B，同理EFD= FDC= C，都可以证出DEFABC 18ABCDEF ，若ABC 的边长分别为 5cm、6cm、7cm，而 4cm 是DEF 中一边的长度，你能求出DEF 的另外两边的长度吗？试说明理由. 思路点拨：因没有说

16、明长 4cm 的线段是DEF 的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.解：设另两边长是 xcm，ycm，且 xy.(1)当DEF 中长 4cm 线段与ABC 中长 5cm 线段是对应边时，有 ，从而 x= cm，y= cm.9(2)当DEF 中长 4cm 线段与ABC 中长 6cm 线段是对应边时，有 ，从而 x= cm， y= cm.(3)当DEF 中长 4cm 线段与ABC 中长 7cm 线段是对应边时，有 ，从而 x= cm，y= cm.综上所述，DEF 的另外两边的长度应是 cm, cm 或 cm， cm 或 cm， cm 三种可能.总结升华：一定要深刻理解“对应” ，若题中没有给

17、出图形，要特别注意是否有图形的分类.19如图所示，已知ABC 中，AD 是高，矩形 EFGH 内接于ABC 中，且长边 FG 在 BC 上，矩形相邻两边的比为 1：2，若 BC=30cm，AD=10cm. 求矩形 EFGH 的面积. 思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.解： 四边形 EFGH 是矩形， EHBC， AEHABC. ADBC ， AD EH，MD=EF. 矩形两邻边之比为 1：2，设 EF=xcm，则 EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得 ， ， ， . EF=6cm，EH=12cm. .总结升华：解决有关三角形

18、的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.20.ABC 中，DEBC ，M 为 DE 中点，CM 交 AB 于 N，若 ，求 .解：DEBC ，ADEABCM 为 DE 中点， DMBC ， NDMNBC10 =1：2.总结升华：图中有两个“ ”字形，已知线段 AD 与 AB 的比和要求的线段 ND 与 NB 的比分别在这两个“ ”字形，利用 M 为 DE 中点的条件将条件由一个 “ ”字形转化到另一个“ ”字形，从而解决问题.21.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他

19、本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔 18 m，已知小明的身高是 1.6 m，他的影长是 2 m(1)图中ABC 与ADE 是否相似?为什么?(2)求古塔的高度解：(1)ABC ADEBCAE ，DE AEACB=AED=90A=AABCADE(2)由(1) 得ABC ADEAC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6mDE=16m答：古塔的高度为 16m.22.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 1.5m 宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高 BC？ 思路点拨：光线 AD/BE，作 EFDC 交 AD 于 F.则 ，利用边的比例关系求出 BC.