三角形培优训练100题集锦学生用.doc

1、第 1 页 共 49 页三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。3、遇到角平分线，可以自角平分

2、线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线

3、段连接起来，利用三角形面积的知识解答。1、已知，如图 中， ， ，求中线 AD 的取值范围。ABC53AC分析：本题的关键是如何把 AB，AC，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长 AD 到 E，使 ，连接 BED又 ，D ，SACB3CB (三角形三边关系定理)A即 82 41D2、如图， 中，E、F 分别在 AB、AC 上， ，D 是中点，试比较 与ABC FECFBEEF 的大小。证明：延长 FD 到点 G，使 ，连接 BG、EGDF ， ，DC FB E CAB DGFECAB D第 2 页 共 49 页 CFBG DE在 中，EGB ，FB CE3、如图， 中， ，E 是

4、DC 的中点，求证：AD 平分 .AACDB BAE证明方法一：利用相似论证。证明： C BA21E 是 DC 中点 ，ADBCAE BC A ， BADCA EDB E即 AD 平分 证明方法二：利用全等论证。证明：延长 AE 到 M，使 ，连结 DMAE易证 CED ，又 AB ， D又 ，ADCME DM AB E即 AD 平分4、以 的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt ，ABC ABDACE，连接 DE，M 、N 分别是 BC、DE 的中点。探究：AM 与 DE 的位置关系90ED及数量关系。（1）如图 1 当 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ，线

5、段AM 与 DE 的数量关系是 ；（2）将图 1 中的等腰 Rt 绕点 A 沿逆时针方向旋转 （ ）后，如图 2 所BD90E CAB DME CAB D第 3 页 共 49 页图 1MNCABDNECABDM图 2示， （1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。解：（1） ， ；AED2ED证明：延长 AM 到 G，使 ，连 BG，则 ABGC 是平行四边形 ，BC80B又 1 AE再证： D ，M2DABG延长 MN 交 DE 于 H 90A E（2）结论仍然成立证明：如图，延长 CA 至 F，使 ，FA 交 DE 于点 P，并连接 BFAC ，BAD EDF90在 和 中DABE

6、 （SAS）F ， N 90AEP EB又 ，AFCMB ，且/21 ，DE5、如图， 中， ，AD 平分 ，且 ，求证：ABCA2BACBDAC证明：过 D 作 ，垂足为 M 90M又 ，GCHABDMNEFCPABDMNEMCABD第 4 页 共 49 页 BDMA C2AD 平分 BA D在 和 中M， ，CCAD A 90即: D6、如图， ，EA，EB 分别平分 ， ，CD 过点 E，求证：B/ CABACB证明：在 AB 上截取 ，连接 EFAF在 和 中EAC FE 90FEBABDC即 在 和 中EFDB （ASA）FE ACA7、如图，已知在 内， ， ，P，Q 分别在 BC

7、，CA 上，并且B604CAP， BQ 分别是 ， 的角平分线。求证： BAB证明：延长 AB 到 D，使 ，连接 PD则P5DAP，BQ 分别是 ， 的角平分线， ，AC604C ， ，3021 840618B3 QB又 45D 0FEDABC45232D QPCAB1第 5 页 共 49 页在 与 中APDC， ，2140 （AAS）即 QCAB P8、如图，在四边形 ABCD 中， ， ，BD 平分 .BACDABC求证： 180CA解：过点 D 作 于 E，过点 D 作 交 BA 的延长线于 FBFBD 平分 ，FE9在 和 中RtAtDCA （HL ）EtFt F 180ADBCA9

8、、如图，在 中， ， ，P 为 AD 上任意一点。CADB求证： P证明：如图，在 AB 上截取 AE，使 ，连接 PEE在 和 中AEPCDB （SAS）ACPE在 中， ，即BEBPCBA10、在四边形 ABCD 中， ，点 E 是 AB 上一个动点，若 ， ，且CD/ 60BBCA，判断 与 的关系并证明你的结论。60DECAEB分析：此题连接 AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 B连接 AC，过 E 作 并 AC 于 F 点BCF/则可证 为等边三角形A DEACBEFDCABEDAPCB第 6 页 共

9、49 页即 ，EFA60AFE 120C又 ，BD/又 6E FA在 与 中C， ，DEFECAD E FA B点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。11、如图 D 为 的角平分线，直线 于 A.E 为 MN 上一点， 周长记为ABCDMNABC， 周长记为 .求证： .APEPABP证明：延长 BA 到 F，使 ,连接 EFAD 为 的角平分线 CADB MN CAEDFE9090 ， A C BFE ACBC+BE+CEAB+AC+BC BCABE 的周长小于 的周长，即ACP12、已知：ABC 和ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，

10、其中 BA=BC，DA=DE，联结EC，取 EC 的中点 M，联结 BM 和 DM（1）如图 1，如果点 D、E 分别在边 AC、AB 上，那么 BM、DM 的数量关系与位置关系是 ； （2）将图 1 中的ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 DEACBFFNMDEACBDCBAEM MEA B CD第 7 页 共 49 页解：（1）BM=DM 且 BMDM 2 分（2）成立 3 分理由如下：延长 DM 至点 F，使 MF=MD，联结 CF、BF、BD易证EMDCMF4 分ED= CF，DEM =1AB=BC，AD=DE，且ADE=ABC =90

11、，2=3=45, 4= 5=45BAD=2+4+ 6=90+68=360- 5-7-1，7=180 -6-9，8=360-45-（180-6- 9）-（3+9）=360-45-180+6+ 9- 45-9 =90+ 6 8=BAD又 AD=CF ABDCBF BD =BF，ABD =CBFDBF=ABC=90 MF=MD ， BM=DM 且 BMDM 13、如图，已知在 中， ， 的角平分线 AD，CE 相交于点 O.ABC60ABC求证： ODE证明：在 AC 上取点 F，使 ，连接 OFEAD 是 的平分线 A FOE ， CE 是 的平分线C D 60B 120A OCAC6021ACB

12、 6088FDOF C FODE A CB9第 8 页 共 49 页O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图 OFD ，CDAEACO即：14、如图， 中，AD 平分 ， 且平分 BC， 于 E，BBACGABD于 F. （1）说明 的理由；（2）如果 ， ，求 AE、BE 的长。ADFEaABb（1）证明:连接 DB，DC 且平分 BCCG B ， ，AD 平分AEDFBAC Rtt CB（2）解: ，FEA DtAt ，即 ，AEFCBCB2 AEba22ba BAFEA ，ba22ba15、如图，OP 是 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的MON全等三角形。

13、请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 中， 是直角， ，AD、CE 分别是 、 的ABC60BBAC平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 中，如果 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在A（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为 E（2）答：（1）中的结论 仍然成立。FD证法一：如图 1，在 AC 上截取 ，连结 FG AG ，AF 为公共边， AGFE ， EGFDEACB第 9 页 共 49 页 ，AD、CE 分别是 、 的平分线

14、60BBAC 32 60FGCDAFE 及 FC 为公共边4 FG DE证法二：如图 2，过点 F 分别作 于点 G， 于点 H ABBCF ，AD、CE 分别是 、 的平分线60BC可得 ，F 是 的内心3 ，1GEH又 D 可证 F FE16、正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点， ，求EFDB的度数。EAF解：将 绕点 A 顺时针旋转 ，至D90ABG BG又 ， F EA DAFEA又 90DB 45F17、D 为等腰 斜边 AB 的中点， ，DM，DN 分别交 BC，CA 于点ACRtNME，F 。（1）当 绕点 D 转动时，求证： ；MNDFE（2）

15、若 ，求四边形 DECF 的面积。2B分析：（1）连 CD，根据等腰直角三角形的性质得到 CD 平分 ， ，ACBD， ，则 ， ，由 得 ，根据等角45AAC45C90AN90EF的余角相等得到 ，根据全等三角形的判定易得 ，即可得到结论；FE （2）由 ，则 ，于是四边形 DECF 的面积 ，由而 可得DADFES ACDS2，根据三角形的面积公式易求得 ，从而得到四边形 DECF 的面积。1DAC解：（1）连 CD，如图，D 为等腰 斜边 AB 的中点ABCRtFBEA CD图 121 43GFBEA CD图 221 43HGGFDEACB第 10 页 共 49 页CD 平分 ， ， ，

16、ACBD45ADAC ，4590 NDM 90EF A在 和 中CADFE C（2） ADFCES四边形 DECF 的面积 ACDS而 2B 1A四边形 DECF 的面积 21SACD点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。18、 如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，以ABCBDC120BDCD 为顶点做一个 角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，求 的周60 AMN长。解： 是等腰三角形，且 120 3DB 是边长为 3 的等边三角形AC 60A 9顺时针旋转 使 DB 与 DC 重合BM在 和 中DN60 MDN BC 6ACBNANMFDEACBMANMDCB