直角三角形的边角关系全章总结复习.doc

1、20172018 学年寒假辅导 第 1 讲 直角萨娇新的边角关系一、 知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义 关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sinA A的 对 边斜 边 ac余弦: cosA A的 邻 边斜 边 bc正切: tanA . A的 对 边 A的 邻 边 ab根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.度数三角函数 30 45 60sinA 12232cosA 312.特殊角的三角函数值tanA 1 3知识点二 ：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个

2、锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a 2b 2c 2； (2)锐角之间的关系：A B90；(3)边角之间的关系：sinA =cosB= ，cosAsinB= ，tanA .ac bc ab(4)相等的角 商的关系:tanA= ;平方关系:sin 2A+cos2A=1. (5)互余的两角:若A+B=90,则 sinA=cosB, cosA=sinB.科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢

3、；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在 RtABC 中，已知 a=5, A=30，则 c= ,b= .知识点三 ：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角 （如图）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度( 或者叫做坡比)，用字母 i 表示 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用 表示，则有 itan . （如图）(3)方向角：平面上，通过观察点 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点 O 出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角 （如

4、图）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1） 叠合式 （2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解二、 专题讲座专题一：锐角三角函数的概念注意：1.sinA、cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线

5、段的比，没有 ，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关2.取值范围 例 1如图所示，在 RtABC 中，C90 对)(sinA_， 对)(sinB_； 对co_ ， 对co_； A)(tan_， )(tan_例 2. 锐角三角函数求值：在 Rt ABC 中，C90，若 a9，b12，则 c_ ，sinA_ _，cosA_ _，tanA_ _，sinB_ _，cosB_ _，tanB_ _例 3已知：如图，RtTNM 中，TMN90，MRTN 于 R 点，TN4，MN3求：sinTMR、cosTMR、tanTMR类型一：直角三角形求值例 4已知 Rt ABC 中， ,12,43tan,90BC

6、AC求 AC、AB 和 cosB例 5.已知 A是锐角， 178sin，求 Acos， tan的值类型二. 利用角度转化求值：例 6已知：如图，RtABC 中，C90D 是 AC 边上一点，DE AB 于 E 点DEAE12求：sinB、cosB、tanB 例 7.如图，角 的顶点为 O，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边 OA 上有一点 P（3，4） ，则 sin A D E CB F 第 18题 图 例 7 图 例 8 图 例 9 图 例 13 图 例 8.如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm，DEAB， 3sin5A，则这个菱形的面积= cm2例 9.如图，沿 AE折叠矩形纸片 A

7、BCD，使点 落在 边的点 处已知 8AB， 10C，AB=8,则tanFC的值为 ( ) 34 45类型三. 化斜三角形为直角三角形例 10.如图，在ABC 中，A=30，B=45 ，AC=2 3，求 AB 的长例 11已知：如图，ABC 中，AC 12cm，AB16cm ， 31sinA(1)求 AB 边上的高 CD；(2) 求ABC 的面积 S；(3)求 tanB例 12已知：如图，在ABC 中，BAC 120，AB10，AC 5求：sinABC 的值类型四：利用网格构造直角三角形例 13 如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为（ ）A12B5C10D25对应训

8、练：1在 RtABC 中， C90，若 BC1，AB= 5，则 tanA 的值为（ ）A 5 B 2 C 1 D2 2在ABC 中，C=90，sinA= 3，那么 tanA 的值等于（ ） A 3 B. 4 C. 3 D. 43. 如图，在等腰直角三角形 AB中， 90C， 6， D为 C上一点，若 tan5 ，则 A的长为( ) A 2 B 2 C 1 D 2 4. 如图，在 RtABC 中，C=90，AC=8 ，A 的平分线 AD= 316；求B 的度数及边 BC、AB 的长.D A B C 5如图，在 RtABC 中，BAC=90 ，点 D 在 BC 边上，且ABD 是等边三角形若 AB

9、=2，求ABC 的周长（结果保留根号）6已知：如图，ABC 中，AB9，BC 6，ABC 的面积等于 9，求 sinB7. 在ABC 中，A=60 ，AB=6 cm，AC=4 cm，则ABC 的面积是 （ ）A.2 3 cm2 B.4 3 cm2 C.6 3 cm2 D.12 cm28如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sin A =_.9如图，A、B、C 三点在正方形网络线的交点处，若将 ABC绕着点 A 逆时针旋转得到 B，则 tan的值为（ ） A. 41 CBA B O 图 2 B. 31 C. 2 D. 110正方形网格中， AOB 如图放置，则 tan AOB 的值是（ ）

10、A B. C. D. 212专题二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 例 1求下列各式的值（1） 60tan45si230cos （2） 30cos245sin60ta （3）3 1 +(21) 0 3tan30tan45 (4) 03tan245sin60co21(5) tan4si301co6；例 2求适合下列条件的锐角 (1) 1cos(2) 3tan (3) 2sin (4) 3)16cos( （5）已知 为锐角，且 3)0tan(，求 ta的值（）在 ABC中，若 0)2(sin1coBA， BA， 都是锐角，求 C的度数锐角 30 45

11、 60sincostan例 3. 三角函数的增减性1已知A 为锐角，且 sin A 21，那么A 的取值范围是（ ）A. 0 A 30 B. 30 A 60 C. 60 A 90 D. 30 A 902. 已知A 为锐角，且 03sinco，则 （ ）A. 0 A 60 B. 30 A 60 C. 60 A 90 D. 30 A 90例 4. （三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于 E，BE 16cm， 132sinA 求此菱形的周长对应练习：1.计算： 2.计算：1 023tan45(21.4)3 012013 14.330sin）（）（ 3.计算： ()2

12、0123cos60-+. 4 计算：(2014 )0(cos60) -2 38 tan30；5 35.计算： 6.计算：|1 |（ ） 14cos30+（ 3.14） 07.已知 是锐角，且 sin(+15)= 32 计算1084cos(3.14)tan3的值8已知：如图，RtABC 中，C90， 3BCA，作DAC30，AD 交 CB 于 D 点，求：(1)BAD； (2)sinBAD、cos BAD 和 tanBAD9. 已 知 ： 如 图 ABC 中 ， D 为 BC 中 点 ， 且 BAD 90， 31tanB， 求 ： sin CAD、cosCAD、tanCAD10. 如图，在 Rt

13、ABC 中， C=90， 53sinB，点 D 在 BC 边上，DC= AC = 6，求 tan BAD 的值11.（本小题 5 分）如图，ABC 中，A=30， 3tan2B， 43AC求 AB 的长.DCBAACB专题三：解直角三角形的应用例 1 （2012福州）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别是 30、45 ，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ ）例 1 图 例 2 图A200 米 B200 米 C220 米 D100（ ）米例 2如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： 3，堤坝高

14、BC=50m，则应水坡面 AB 的长度是（ ）A100m B100 3m C150m D50 m 例 3. “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁，桥上飞架了 5 座等高的弧形钢架拱桥。【来源：小芸和小刚分别在桥面上的 A， B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部 C处到桥面的距离 20ABm=，小芸在处测得 36C= ，小刚在 处测得 43A= ，求弧形钢架拱梁顶部 处到桥面的距离。(结果精确到0.1m)(参考数据： cos0.81 ， tan60.7 ， sin0.68 ，

15、cos430.7 ， tan43.9 )21*cnjy*com例 4.如图，一垂直于地面的灯柱， AB 被一钢缆 CD 固定， CD 与地面成 45夹角（CDB=45 ） ，在 C 点上方 2 米处加固另一条钢缆 ED， ED 与地面成 53 夹角（EDB=53 ） ，那么钢缆 ED 的长度约为多少米？（结果精确到 1 米。参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）ACB例 5如图，皋兰山某处有一座信号塔 AB，山坡 BC 的坡度为 1： ，现为了测量塔高 AB，测量人员选择山坡C 处为一测量点，测得 DCA=45，然后他顺山坡向上行走 100 米到达 E 处，再测

16、得 FEA=60（1）求出山坡 BC 的坡角 BCD 的大小；（2）求塔顶 A 到 CD 的铅直高度 AD（结果保留整数： ）对应练习：1已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点已知BAC 60，DAE45点 D 到地面的垂直距离 m23DE，求点 B 到地面的垂直距离 BC2.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高 BD=30m从水平面上一点 C 测得风力发电装置的顶端 A 的仰角DCA=60，测得山顶 B 的仰角DCB=30，求风力发电装置的高 AB 的长3 .如图，小聪用一块有一个锐角为

17、 30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距 3米，小聪身高 AB 为 1.7 米，求这棵树的高度.4 （如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30，朝物体 AB 方向前进 20 米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60，则物体 AB 的高度为（ ）AB CDE第 4 题图 第 5 题图A10 米 B10 米 C20 米 D 米5已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离

18、是多少 ?(精确到 0.1 海里， 732.1)专题四：三角函数的综合应用1如图，四边形 ABCD 中，BAD=135 ，BCD=90，AB=BC= 2， tanBDC= 63(1) 求 BD 的长； (2) 求 AD 的长2如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A 分别作 AEBC 于点 E，AFCD 于点 F（1）求证： BAE =DAF ；（ 2）若 AE=4，AF= 245， 3sin5BA，求 CF 的长3如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是 1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端 M 在同一条直线上，测得旗杆顶端 M 仰角为 45；小红的眼睛与地面的距离（ CD）是 1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端 M 的仰角为 30两人相距 28 米且位于旗杆两侧（点 B、N 、D 在同一条直线上） 求出旗杆 MN 的高度 （参考数据：， ，结果保留整数 ）4.127.3CDB NMA小红小明