第一章 函数与极限 - 上海应用技术学院理 学 院.doc

1、 第九章 多元函数微分法及其应用3第九章 多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。(2) 了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。(3) 理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。(4) 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。(5) 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。(6) 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶） 。(7) 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。(8) 理解多元函数极值和条件极值的概

2、念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。 。二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。1. 多元函数的极限和连续(1) 基本概念1) 点集和区域。2) 多元函数的定义、定义域。3) 二元函数的极限、连续。(2) 基本定

3、理1) 多元初等函数在其定义域内是连续的。2) 多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值 M、最小值 m；且必取到最大值M 和最小值 m 之间的任何值。2. 多元函数微分法(1) 基本概念高等数学学习指导4偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。(2) 计算方法1) 偏导数： 在 处对 的偏导数 ，就是一元函数),(yxfz),0x0xz在 处的导数；对 的偏导数 （同理） 。),(0f0y0x2) 全微分： 的全微分),(yxfzdyzxdz3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。A. 设 ， ，则全导数

4、。),(vufz)(),(tvtdtvztudtzB. 设 ，),(f ),(),(yxyx则： ， 。vzuxz vzu4) 隐函数求导法则：A. 设函数 由隐函数 确定，则 。)(fy0),(yxFyxFdB. 设函数 由隐函数 确定，则 ，),(xfz),(zzx。zyFdC. 设函数 由隐函数方程组 确定，从)(),(xgf0),(zyxGF，求出导数 。0)()(Gfzyx ,gf(3)多元函数连续、可导、可微的关系第九章 多元函数微分法及其应用5(4) 基本定理1) 可微的必要条件：如果函数 在点 处可微分，则函数在点),(yxfz),(处偏导数必定存在，且全微分为 。),(yx

5、zd2) 可微的充分条件：如果函数 的偏导数 在点 处连续，),(yxfzyx,),(则函数在该点必可微，且 。dd3. 多元函数微分学的应用(1) 方向导数和梯度1) 方向导数A. 定义： ， ),(),(lim0 yxfyxf 22)(yxB. 计算方法： cossyfxfl2) 梯度A. 定义： jyfixygradf),(B. 函数在一点的梯度 grad 是一个向量，它的方向是函数在这点的),(f方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值。3) 方向导数和偏导数的区别和联系A. 都是多元函数的变化率，方向导数是沿任意指定方向的变化率而偏导数是沿坐标轴方向（两个方向）的变化率；

6、B. 方向导数是偏导数概念的推广，偏导数并不是某一方向的方向导数。(2) 在几何上的应用空间曲线 为曲线上一点),(00zyxMTtzyx,)(1、切线方程： )()(00tztytx2、法平面方程： 0)(0zty0,xGF1、切线方程： )()(1000Mzyxx2、法平面方程： )( 0zzyxX高等数学学习指导6空间曲面 为曲面上一点),(00zyxM),(yxfz1、切平方面方程 )(,)(, 00000 yxfxyfyx 2、法线方程 1,),( zffyx0),(zF1、切平面方程 0)()()( 0000 zMFFzyx2、法线方程 )(Mzyx (3) 极值问题1) 无条件极

7、值A. 极值的必要条件：若函数 在点 处达到极值，且偏),(yxf),(0yxP导数都存在，则 ， 。0,0fx fyB. 极值的充分条件：设函数 在点 的某个邻域),(f),(0x内有连续的二阶偏导数，且 ，)(0PUyfx，记 ， ，,yxf ),(0fAx ),(0fBxy，则)(0Cy2BA2C2BAC为极小值,),(00xfor为极大值)(y不是极值),(0yxf无法判断2) 条件极值及其求法：A. 定义：函数 在条件 下的极值，称为条件极值。,xf),(yxB. 计算方法：拉格朗日乘数法：将该问题化为求函数 的无条件极值，因此从),(),(),(fyL中求出的 ，就是函数 在约束条

8、件0),(),(,yxxfyx),(0yx),(yxf下的可能的极值点。(4) 最值问题1) 设函数 在开区间 内连续， 是 内唯一的极值点，如果该),(yxfD),(0yxD第九章 多元函数微分法及其应用7点是极大（小）点，则该点是最大（小）点， 为最大（小）值。),(0yxf2) 设函数 在有界闭区域 上连续，则必取到最大值和最小值，将边界上),(yxfD的最值和 内的可能极值点进行比较，则最大的为最大值，最小的为最小值。在实际应用中，只有一个最值，而在讨论的范围内所求的函数只有唯一的一个可能极值点，则该点就是所求的最值点三、典型例题分析1. 多元函数的定义域、极限和连续1、求定义域 和一

9、元函数的定义域的求法相同，都是化为解不等式，注意求出的定义域是平面区域。例 1：求函数 定义域)1ln(arcsi2yxz解：由平方根内的函数不小于零，分母不为零，对数函数的定义域为正，由反正弦函数的定义域 0,1022xyyx从而 ,|),( 2xxyD2、复合函数问题在求复合函数的问题时，可适当引入中间变量。例 2：求下列复合函数问题(1) 设 ，求 2),(yxf),1(xyf(2) 设 ，求xfln)()ln,( ),(f解：（1）由 ，令 ，则2),(vufyv,1),1(xf2y高等数学学习指导8（2）令 ，则 ，从而：xvyxuln,vveuy,，所以vvevf l1)1(),v

10、)( yexyf)(),3、二重极限和连续性(1) 在一元函数极限中， 只有三种形式，而在二元函数的重极限中，0x的方式有无穷多种，这是两者的本质区别，不要轻易用求累次极限),(),(0yx去代替求重极限。(2) 求 时，可用连续函数的极限值等于函数值，等价无穷小的代换，重),(lim),(),0fyx要极限，恒等变换约去零因子，夹逼定理等。(3) 通常用取不同路径的极限不相等来说明 不存在。),(lim),(),0yxfyx例 3：求下列极限(1) 2)0,1(, )lnimyxeyx(2) yxcos)li2)1,0(,解：（1） 2)0,1(, )lniyxeyx2ln01)l(01(价

11、（2） yxcos)lim2)1,0(,(2)1,0(,limxyyx价 2li)1,0(,yx例 4: 证明：函数 分别对 x 和 y 是连续的，但在原)0,(,0),(42yxxyf点函数 不连续。),(xf证：当 时，有 ，0,0y ),(lim),(li 0402402000 yxfxyyxfx当 时，有 ，所以 对),(,(0x ),li,li20 ffxx ,f变量 连续，同理对变量 也连续。y第九章 多元函数微分法及其应用9但当点 沿 趋于原点时极限为：),(yx2,yx，01limli20420yxyx 21limli 40422yyxyxy故在原点函数 不连续),(f2. 多

12、元函数微分法例 5：设 ，求 。zyxu)(zyxu,解： ， ，zzx11)( 121)()zzy yxx )ln(xyuzx例 6：设 ，求yztanlyxz,解： ，)2cs()tan(sec)(t)t12xyxxx ；o2cs4yyzx；y )2ct()()( xx（由 位置的对称性） 。tcs2yz,例 7：求 的全微分yx)1(12)(yxxyz由 ，两边对 求导)1ln(ly 1)ln()(xyxzyy 所以： ddxdzyy )1l()()(12 例 8：设 , ,求 ，2),(zyxezfuysinxu解: xzx高等数学学习指导10)sin2(2222 yxezexzyxy

13、 )sin21(2yzezyxuf)cos(22222 yxezeyzyxx )cos(22yzxezyx例 9： ， 具有二阶连续偏导数，求),(fzf yx,解： ，212fyxfx 22ffxzy 3隐函数、参数方程的偏导数隐函数求导有公式法和直接法。直接法就是将方程或方程组两边对某一变量求导，此时其它变量是该变量的函数，注意使用多元复合函数的求导法则。例 10：设 ，求 ，zxeyyz解：令 则 ，zxzF),( 1zxyFz 1zxyFxz例 11：设 ，其中 F 具有连续的一阶偏导数，证明 。0),(zyx yx证明： ， ，Fx1zy12 )(1)()( 2221 FzFzx从而

14、 ， ，所以 。zz1 yzy1 zyx4 多元函数微分学的应用1、方向导数和梯度例 12：求函数 在点 处沿 点的向径方向的方向导数。xzyu)3,21(P解：在点 处 ， ，故向径 的方向余)3,21(P3)(45uzy 143|22OOP弦为 ，向径 的方向导数为14/3cos2/Plu14231425第九章 多元函数微分法及其应用11例 13：求数量场 在点 的梯度、沿 的方向xzyzyxf2),( ),10(M1,2l导数和 处最大的方向导数。M解:由 ,得: ；1)(03ffzyx kigradf3)(由 方向的方向余弦 ，得方向导数： ； l31cos2371032Mlf处最大的

15、方向导数即为 点处梯度的模：MM)(maxgrdflf例 14：函数 ，其中 ，设沿方向 的方向导ru122zyxcos,csl数 ，则 与 的关系如何？0ll解： ，由对称性 ，2221zyxrrxx 3rx3ryu3rzcosscos333ylu )coscos(13 zy )(13l由已知 得 ，从而 垂直 。0lrrl2、多元函数微分学在几何上的应用例 15：在曲线 上求一点 ，使该点的切线垂直于平面 ，2/34/tzytx),(0zyx 1zyx并求切线和法平面方程。解：点 处的切线的方向向量为 ，),(0yx ),(ttzyxT),(23t平面 的法向量为 ，1z1价n由已知 ，故

16、 ，从而 ， ，nT|23ttt )2/1,34/(),(0zyx所以切线方程为 114zyx高等数学学习指导12法平面方程为 ，即 。0)21()3(1)4( zyx 123zyx例 16：求曲面 上平行于平面 的切平面方程。22z解：令 ，故切平面的法向量为 ，1yxF 2,1 zyxFnzyx平面 的法向量为 ，02z22价n由已知 ，故 ，所以所求点为 ，1|ntz1 ),2(),(tzyx又该点在曲面上，则 ，解得 ，因此切平面方程为422tt 32t，即 。0)()31()321( zyx 32zyx3、求极值和最值例 17：求 的极值。279),(3xyyxf解：由 ，求得驻点为02fy )3,(0， ，xA69xyfByfC6在点 ， 不是极值点；)0,(2在点 ， ，且 ， 是极小值点，30CA)3,(极小值为 。02793),( f例 18：在 面上求一点，使它到 三条直线的距离平方和为xOy 0162,yxx最小。解：设所求点为 ，则该点到三条直线的距离平方和为 ，),( 22)16(5yxz由 ，即 ，解得唯一驻点为 ，由0)162(54yxyzx03298yx ),8(唯一性，则该点即为所求。