一元函数导数与微分.DOC

1、基础模块1第三章 一元函数导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。6、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。7、理解函数

2、的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。8、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。9、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。10、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。11、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、 高阶导数；5、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数；6、罗尔定理、拉格朗日中值定理；7、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；8、函数

3、图形的凹凸性；9、洛必达法则。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数；4、隐函数和由参数方程确定的导数；5、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；6、极值的判断方法；7、图形的凹凸性及函数的图形描绘；8、洛必达法则的灵活运用。基础模块23.1 导数的引入3.1.1 导数定义问题引入：一. 直线运动的速度，切线问题1.直线运动的速度先建立坐标系：设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数 1 的点） ，使直线成为数轴.此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻 在直线上的位置的坐标为t（简称位置） ，运动完全由位置函数所确定.s位置函数： （1）

4、)(tfs从时刻 到时刻 的一个时间间隔，有平均速度为：0tt（2）00)(tfts时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻 的速度，但动点在时刻 的速度0t 0t的精确概念还得让 ，即：0t（3）0)(lim0tfvt极限值叫做动点在时刻 的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法.2.曲线的切线建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点处的切线的斜率为： （4）0)(lim0xfkx如图 3-1,割线斜率的极限就是切线的斜率 .图 3-1基础模块3二. 导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数非匀速直线运动的速度和切线的斜率都可以归为一般数学形式：（5） 0)(l

5、im0xfx此处的 和 的分别是函数 的自变量的增量 和函数的增量0x)(f )(xfyx,式（ 5）写成：y（6） 000()(limlixxfxf由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念.2.导数的定义定义 3.1 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量)(xfy0 x0（点 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；如果 与 之比当xx0 yy时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数)(xfy0在点 处的导数 ，记为 ，或者记为)(xfy00 000(),xxxdfy即 （7）0()()limlixxfff，函数 在点 处可导有时也说成 在点

6、具有导数或导数存在.(y xfy0导数的定义也可取不同的形式，常见的有： （8）hxfxfxfh)(li)(000（9）00)(lim)(0xffx在实际中，需要讨论有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.3. 函数在一点处不可导的定义定义 3.2 如果式（7）的极限不存在，就说函数在点 处不可导.0x如果，当 时，比值 时，就说函数 在点 处的导数为无0xxy)(fy0x穷大（此时函数不可导）,如函数 在 点处不可导.14.导函数的定义基础模块4定义 3.3 如果函数 在区间 内的每点处都可导，就称函数 在区间)(xfy

7、I )(xfy内可导 .对任意 都对应着 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函IIx数，这个函数叫做函数 的导函数，记作：)(xfy（10）dfxfy)(,)(,由式（7） 、式（8）得（11）00()()()lim=limx hffxffxf导函数 简称导数，而 是 在 处的导数或导数 在点 处的值.ff )(xf0三. 函数求导的一般步骤1. 函数求导的步骤第一步 根据定义 3.3 写出式（11）的形式.第二步 把具体函数带入进行计算.2.一些简单函数的求导.例 1 求 的导数 xf)(解 hxhfffh1lim)(li)( 00 20)(1li)(limxxh例 2 求 的导数f解

8、 hxhxffxfh 00lim)(li)( h 21li)(lim00例 3 求函数 f(x)sin x 的导数 解 f (x) hfh)(li0hxhsin)si(l0 2ico21lix hhcs2in)s(lim0即 (sin x)cos x 用类似的方法 可求得 (cos x )sin x 基础模块53.1.2 导数的几何意义由切线问题的讨论知，函数 在点 处的导数 在几何上表示曲线)(xfy0)(0xf在点 处的切线的斜率，即 )(xfy(,0fMhxfxfkfh)(lim000曲线在点处的切线方程为 )(00xf曲线在点处的法线方程为 )(1000xfy例 4 求等边双曲线 在点

9、 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线x2,方程. 解 根据导数的几何意义，得切线的斜率为 41221xxyk切线方程为 .04),(yx法线的斜率为 12k法线方程为 .01582),(4yx例 5 求曲线 的通过点 的切线方程 (,)解 设切点的横坐标为 则切线的斜率为0x 021303)(0xfx于是所求切线的方程可设为 )(2300xy根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此基础模块6 )0(2340xx解之得 x04 于是所求切线的方程为 即 3xy40 )4(y注：(1). 如果 ，则曲线 在点 处有垂直于 轴的切线0fx)(f)(,0xfMx；0x(2). 如果 ，则曲

10、线 在点 处有平行于 轴的切线0()fx)(xfy)(,0xfx.0()yfx3.1.3 导数存在性判定一. 单侧导数根据函数 在点 处的导数 的定义，导数是一个极限，)(xf0)(0xf. hfh)lim0而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等.由函数在点 处的左、右极限得0x左、右导数的定义左导数的定义.hxfxfxfh)(lim)( 000 右导数的定义 .xfxfxfh)(li)( 000例 6 求函数 在 处的导数f)(解 ,00()|limlixxff.00| |li1,li1xx所以 不存在 ,|即 在 点不可导.f)(函数在点 处可导的充分必要条件是左导数和右导数存在

11、且相等.函数 在开区间0x )(xf基础模块7的内可导，及 的 都存在，就说 在闭区间 上可导.),(ba)(afbf )(xf,ba二. 函数的可导性与连续性的关系设函数 在点 处可导 即 存在 则()yfx0 )(lim00xfyx lililimli00 fyxxx这就是说 函数 在点 处是连续的 所以 如果函数 在点 处可导 ()f0 ()yfx则函数在该点连续 但是一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7 函数 在区间(, )内连续 但在点 x0 处不可导 这是因为函数在点 x03)xf处导数为无穷大， hffh)0(lim0hli33.1.4 基本初等函数导数公式基本初等函数的

12、导数公式在初等函数的求导运算中起着重要的作用，前面我们通过定义已经得到了一些公式，在这里我们再计算两个，还有的需要后面的知识推导，为了熟练地掌握它们，现将这些公式给出.例 8 求函数 f(x)a x(a0 a 1) 的导数 解 f (x) hfh)lim0hax0lix1t令 )1(logim0tax aeaxlnlog特别地有(e x )e x 例 9 求函数 f(x)log a x (a0 a 1) 的导数 解 hxhff ahh log)(lim)li00 hxahaax)1(logim)1(li(log1i 0 exln即 aal1)(log特殊地 xaxaln1)(log)(基础模块

13、8基本初等函数的导数公式(1) ； (2) ；(3) ,(4) ；0)(C1)(xxcos)(sin xsin)(5) ；(6) ；(7) ；x2sectan2cot tae)(8) ；(9) ；(10) ；x)( axl)( x(11) ；(12) ；(13) ；axaln1log 1l 21)(rcsin(14) ；(15) ；(16) .21)(rcsx 2)(artx 21)cot(xar3.2 导数的计算由于初等函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合得到的，所以要想解决初等函数的求导问题就必须建立求导运算的基本法则和方法.3.2.1 求导法则一.求导四则运算法则定理 3.1 如

14、果函数 及 在点 处具有导数 那么它们的和、差、积、uxvx商(除分母为零的点外)都在点 处具有导数 并且, (1) uxv, (2)+uxvxv AA (3)2()()()uxv证 仅证明公式（2）hxvuxvuxuh)()(lim)(0)()1li0 xvuhvh xvxux)()(li hhvhuh limli)lim000 = .)() xxv基础模块9法则(2)可简单地表示为.+uvvA注:法则(1)、(2)可推广到有限可导函数的情形 例 1 求 及 2sinco4)(3xxf ()fx)2(f解 f sin43(i)(2 432f例 2 求 .tanyxy解 x2cos)(in)(

15、sicoi()t x2e1sn即 .ta=ec例 3 , 求 .syy解 sec x tan x xx2cos)(1)(co1()e 2cosin即 .eta用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式 , .sctxcox2tcsx二. 反函数求导法则定理 3.2 如果函数 在某区间 内单调、可导且 ,那么它的反函数xfyyI0fy在对应区间 内也可导 并且-1yfx,xI 或 )(11yff1dy简要证明 由于 在 内单调、可导(从而连续) 所以 )的反函数xfyI xfy存在 且 在 内也单调、连续 -1yf-1x任取 ,给 x 以增量 ,由 的单调性可知I0,xI-1yfx基础模块

16、10,110yfxfx于是 yx因为 连续 故-1f0limyx从而.)(1lili)(001 yfxfyx上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例 4 设 为直接函数 则 是它的反函数 函数sin,2arcsinyx在开区间 内单调、可导 且sixy), (.n=cos0y因此 由反函数的求导法则 在对应区间 内有1,xI 22sinco1)(sin(arci yyx类似地有 2ox例 5 设 为直接函数 则 是它的反函数 函数ta,(,)xyarctnyx在区间 内单调、可导 且tn)2, (asec0y因此 由反函数的求导法则 在对应区间 内有 ,xI 2221tansec1)(tan(arct yyx类似地有 orx例 6 设 为直接函数 则 是它的反函数 函数 在区间0,yxlogaxyxa内单调、可导 且,yI