2015年高考理科数学天津卷含答案.doc

1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类） 第 I 卷 注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 2、本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）已知全集 1, 2,3, 4,5,6,7,8U ，集合 2,3,5,6A ，集合 1,3,4,6,7B ，则集合 UAB （ A） 2,5 （ B） 3,6 （ C） 2,5,6 （ D） 2,3,5,6,8 【答案】 A 【解析】 试题分析： 2,5,8UB

2、 ,所以 2,5UAB ，故选 A. 考点： 集合运算 . （ 2）设 变量 ,xy 满足约束条件 20302 3 0xxyxy ，则目标函数 6z x y 的最大值为 （ A） 3 （ B） 4 （ C） 18 （ D） 40 【答案】 C 8642246815 10 5 5 10 15AB考点： 线性规划 . （ 3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 （ A） 10 （ B） 6（ C） 14（ D） 18 【答案】 B 【解析】 试题分析： 模拟法：输入 20, 1Si； 2 1, 20 2 18 , 2 5iS 不成立； 2 2 4 , 18 4 14 , 4 5

3、iS 不成立 2 4 8 , 14 8 6 , 8 5iS 成立 输出 6 ,故选 B. 考点： 程序框图 . （ 4）设 xR ，则“ 21x ”是“ 2 20xx ”的 （ A）充分而不 必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 【答案】 A 考点： 充分条件与必要条件 . （ 5）如图，在圆 O 中， ,MN 是弦 AB 的三等分点，弦 ,CDCE 分别经过点 ,MN .若2, 4, 3C M M D C N ，则线段 NE 的长为 （ A） 83 （ B） 3 （ C） 103 （ D） 52 EDOBM NC【答案】 A 【解析】 试题分析：

4、 由相交弦定理可知， ,AM M B C M M D C N N E AN N B ，又因为 ,MN是弦 AB 的三等分点，所以 A M M B A N N B C N N E C M M D ，所以2 4 833C M M DNE CN ，故选 A. 考点： 相交弦定理 . （ 6）已知双曲线 2222 1 0, 0xy abab 的一条渐近线过点 2, 3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 2 47yx 的准线上，则双曲线的方程为 （ A） 22121 28xy （ B） 22128 21xy（ C） 22134xy（ D） 22143xy 【答案】 D 考点： 1.双曲线的标准方程及几何性质

5、； 2.抛物线的标准方程及几何性质 . （ 7 ）已 知定 义在 R 上的函 数 21xmfx （ m 为实 数）为 偶函数 ，记 0 .5 2(l o g 3 ), lo g 5 , 2a f b f c f m ，则 ,abc 的大小关系为 （ A） abc （ B） a c b （ C） c a b （ D） c b a 【答案】 C 【解析】 试题分析： 因为函数 21xmfx 为偶函数， 所以 0m ，即 21xfx，所以 2 21l o g l o g 330 .5 2 1(l o g 3 ) l o g 2 1 2 1 3 1 2 ,3a f f 2l o g 5 02l o g

6、 5 2 1 4 , 2 ( 0 ) 2 1 0b f c f m f 所以 c a b，故选 C. 考点： 1.函数奇偶性； 2.指数式、对数式的运算 . （ 8）已知函数 22 , 2,2 , 2,xxfxxx 函数 2g x b f x ，其中 bR ，若函数 y f x g x 恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 （ A） 7,4（ B） 7,4（ C） 70,4（ D） 7,24【答案】 D 【解析】 试题分析： 由 22 , 2 ,2 , 2 ,xxfxxx 得22 2 , 0(2 ),0xxfxxx ， 所以222 , 0( ) ( 2 ) 4 2 , 0 22 2 ( 2

7、) , 2x x xy f x f x x x xx x x ， 即222 , 0( ) ( 2 ) 2 , 0 25 8 , 2x x xy f x f x xx x x ( ) ( ) ( ) ( 2 )y f x g x f x f x b ,所以 y f x g x恰有 4 个零点等价于方程 ( ) (2 ) 0f x f x b 有 4 个不同的解，即函数 yb 与函数 ( ) (2 )y f x f x 的图象的 4 个公共点，由图象可知 7 24 b . 8642246815 10 5 5 10 15考点： 1.求函数解析式； 2.函数与方程； 3.数形结合 . 第 II 卷 注

8、意事项： 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 . 2、本卷共 12小题，共计 110 分 . 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . （ 9） i 是虚数单位，若复数 12i a i 是纯虚数，则实数 a 的值为 . 【答案】 2 【解析】 试题分析： 1 2 2 1 2i a i a a i 是纯度数，所以 20a ，即 2a . 考点： 1.复数相关定义； 2.复数运算 . （ 10）一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为 3m . 【答案】 83 【解析】 试题分析： 由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为 1 ，高为

9、2 的圆柱，两端是底面半径为 1 ，高为 1 的圆锥，所以该几何体的体积 22181 2 2 1 133V . 考点： 1.三视图； 2.旋转体体积 . （ 11）曲线 2yx 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】 16 【解析】 试题分析： 两曲线的交点坐标为 (0,0),(1,1) ，所以它们所围成的封闭图形的面积 11 2 2 30 01 1 12 3 6S x x d x x x . 考点： 定积分几何意义 . （ 12）在 614x x的展开式中， 2x 的系数为 . 【答案】 1516 考点： 二项式定理及二项展开 式的通项 . （ 13）在 ABC 中，内角 ,A

10、BC 所对的边分别为 ,abc ，已知 ABC 的面积为 315 ，12,cos ,4b c A 则 a 的值为 . 【答案】 8 【解析】 试题分析： 因为 0 A ，所以 2 15sin 1 co s 4AA ， 又 1 1 5s in 3 1 5 , 2 428ABCS b c A b c b c ，解方程组 224bcbc 得 6, 4bc，由余弦定理得 2 2 2 2 2 12 co s 6 4 2 6 4 6 44a b c b c A ，所以 8a . 考点： 1.同角三角函数关 系； 2.三角形面积公式； 3.余弦定理 . （ 14）在等腰梯形 ABCD 中 ,已知 / / ,

11、 2 , 1 , 6 0A B D C A B B C A B C ,动点 E 和 F 分 别 在线 段 BC 和 DC 上 , 且 , 1,9B E B C D F D C 则 AEAF 的 最小 值为 . 【答案】 2918 【解析】 试 题 分 析 ： 因为 1,9DF DC 12 AB ，1 1 9 1 99 9 1 8C F D F D C D C D C D C A B ， A E A B B E A B B C ，1 9 1 91 8 1 8A F A B B C C F A B B C A B A B B C ， 221 9 1 9 1 911 8 1 8 1 8A E A F

12、 A B B C A B B C A B B C A B B C 1 9 1 9 94 2 1 c o s 1 2 01 8 1 8 2 1 1 7 2 1 1 7 2 929 2 1 8 9 2 1 8 1 8 当且仅当 2192 即 23 时 AE AF 的最小值为 2918 . BADCEF考点： 1.向量的几何运算； 2.向量的数量积； 3.基本不等式 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. （本小题满分 13 分）已知函数 22sin sin6f x x x ， Rx (I)求 ()fx最小正周期； (II)求 ()fx在区间

13、, 34pp- 上的最大值和最小值 . 【答案】 (I) ; (II) max 3() 4fx ,min 1() 2fx . 考点： 1.两角和与差的正余弦公式； 2.二倍角的正余弦公式； 3.三角函数的图象与性质 . 16. （本小题满分 13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协 会的运动员组队参加 .现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名 .从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 . (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率； (I

14、I)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 【答案】 (I) 635; (II) 随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 52EX 【解析】 试题分析： (I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量 X 的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望 . 试题解析： (I)由已知，有 2 2 2 22 3 3 348 6() 35C C C CPA C所以事件 A 发生的概率为 635 . (II)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4 45348 ( 1, 2 , 3 , 4 )

15、kkCCP X k kC 所以随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 所以随机变量 X 的数学期望 1 3 3 1 51 2 3 41 4 7 7 1 4 2EX 考点： 1.古典概型； 2.互斥事件； 3.离散型随机变量的分布列与数学期望 . 17. （ 本 小 题 满 分 13 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 柱 1 1 1 1ABCD A B C D- 中，侧棱1A A ABCD底 面 , A AC , 1AB= , 1 2 , 5A C A A A D CD= = = =,且点 M 和 N 分别为 11CDBD和 的中点 . (I)求证： MN A

16、BCD平 面 ； (II)求二面角 11D-AC B- 的正弦值； (III)设 E 为棱 11AB 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 13 ，求线段 1EA 的长 【答案】 (I)见解析； (II) 31010 ； (III) 72 . 【解析】 试题分析：以 A 为原点建立空间直角坐标 系 (I)求出直线 MN 的方向向量与平面 ABCD 的法向量，两个向量的乘积等于 0 即可； (II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可； (III) 设 1 1 1AE AB ，代入线面角公式计算可解出 的值，即可求出 1AE的长 . 试题解析：如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 ,1 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , (1 , 2 , 0 )A B C D ， 1 1 1 1( 0 , 0 , 2 ), ( 0 ,1 , 2 ), ( 2 , 0 , 2 ), (1 , 2 , 2 )A B C D ，又因为 ,MN分别为 1BC和 1DD的中点，得11, ,1 , (1, 2,1)2MN .