1、亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载三角函数总结及统练一. 教学内容:三角函数总结及统练(一)基础知识1. 与角 终边相同的角的集合 ,2ZkS2. 三角函数的定义(六种)三角函数是 x、 y、 r三个量的比值3. 三角函数的符号口诀:一正二弦,三切四余弦。4. 三角函数线正弦线 MP= sin余弦线 OM= co正切线 AT= ta5. 同角三角函数的关系平方关系: 商数关系:倒数关系: 1cottan 1csin 1seco口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。6. 诱导公式口诀:奇变偶不变,符号
2、看象限。k222正弦 sinsiinsisincoss余弦 cocoiin亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载正切 tantatntatancotct余切 cococan7. 两角和与差的三角函数 tan1t)tan(tsincos)cos( iini ss)s(8. 二倍角公式代换:令2 222tan1ta sincosin1cossii降幂公式 2coscsi2半角公式:1in; 2cos1cs; cos1tanosisic12ta9. 三角函数的图象和性质函数 xysinxycosxytan亿
3、库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载图象定义域 R R ZkxR,2| 且值域最值1,2/kx时may/时1in1,kx2时 maxy时1inR无最大值无最小值周期性 周期为 2周期为 2周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,k上都是增函数;在 3,2上都是减函数( Zk)在 ,k上都是增函数,在 ,上都是减函数( Zk)在2,k内都是增函数( Z)10. 函数 )sin(xAy的图象变换 0,A函数 的图象可以通过下列两种方式得到:(1) 倍横 坐 标 缩 短 到 原 来 的图 象 左
4、移 1)sin(sinxyxy亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载)sin(xy )sin( xAy倍纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的(2) 图 象 左 移倍横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 )i(i 1)sn(xy sn xyA倍纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的(二)数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则:凑一拆一;切割化弦;化异为同。2. 诱导公式原则:奇变偶不变,符号看象限。3. 估用公式原则:一看角度,二看名称,三看特点。4. 角的和与差的相对性如: )(角的倍角与半角的相对性如:
5、42,5. 升幂与降幂:升幂角减半,降幂角加倍。6. 数形结合:心中有图,观图解题。7. 等价转化的思想:将未知转化为已知,将复杂转化为简单,将高级转化为低级。8. 换元的手段:通过换元实现转化的目的。【典型例题】1. 如: abxbaxbay tn),si(cossin2(化成一个角的一个三角函数) )6sin(2cosin3 )3si(2co3si4xxy xxy;例 1 求下列函数的最大值和最小值及何时取到?(1) xf 22cos3sii)((2) 1nxx解:亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免
6、费下载(1))42sin(xy, 2maxy,)(8Zkx83,2min Zk(2))42sin(3xy, 23maxy,)(83Zkxmin,)(8Zk2.“1”的妙用凑一拆一熟悉下列三角式子的化简 )4sin(2cosincosin2 )42sin(coi2i1i sinco;s2cs例 2 化简 8o28i12 。答案: 4sn3. 化异为同例 3 已知 2ta,求: (1) cosin(2 ) 22sinco3答案:(1)3;(2) 14例 4 已知2,tan,求: cosin1i2答案: 34. cosi与 cosi间的相互转化 亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学
7、资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载(1)若 tcosin,则 21cosint; 1sin2t; cosin=2t(2)若 tcsi,则 t1cosin; t2csi(3) 2ii1ottan例 5 化简: 8ctt。答案: 2例 6 若 在第二象限, 25cos2in,求 2cosin。答案: 235. 互为余角的三角函数相互转化若,则 cosin; sin例 7 已知 41)3si(,则)6(。答案:例 8 求值:10cos5in4。答案: 2亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku
8、.cc 百万教学资源免费下载例 9 求值: 54sin18 。答案:6. 公式的变形及活用(1) tan1)tan(ttan(2)若2)tt4BABA例 10 计算 )45tan1(3ta)(2tn1)(ta( 。答案: 23例 11 10tan7310tan7t 。答案: 37. 角的和与差的相对性;角的倍角与半角的相对性例 12 若2)tan(,31t,则 tan 。答案:7例 13 若02cos7)cos(5,则2tant。答案: 6例 14 在 ABC中,A 为最小角,C 为最大角,且 8.0)2cos(CA, 8.0sinB,求)2cos(的值。答案: 6578. 角的范围的限定亿库
9、教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载由于条件中的三角式是有范围限制的,所以求值时可排除值的多样性。例 15 已知),0(,31cosin,求 2cos。答案: 97例 16 若 是第二象限角且 25cos2in,求 2cosin的值。解法一:利用公式i1)(si然后限定角的范围。解法二:设t2coin利用平方和求 t的值,然后限定角的范围。解法三:利用)2cos)(ins(i s,可回避限定角的范围。答案: 239. 在三角形中的有关问题 180CBA; CBA180; 2CBA结论: sin)si(;
10、 cos)co(2con; 2sin例 17 已知 A、B、C 是 的内角且 2lgcoslsinlgl CBA,试判断此三角形的形状。答案:等腰三角形,B=C例 18 在锐角三角形 ABC 中,求证: BABAcoscosinsin证明:由 2BA则 20亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载故 BAcosin 同理 Ccosin Acosin三式相加,得证。10. 形如 n2842 的化简例 19 求值:(1) 7cos36 (2) 74cos27cs答案:(1) 4(2) 8111. 三角函数图
11、像和性质的应用会求定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间(“一套” ) ;会解简单的三角不等式、三角方程、比较大小。例 20 求下列函数的定义域。(1) )sin(colgxy(2) tan5.0答案:(1))(2,(Zkk(2)4,),0(例 21 求下列函数的值域。(1),0sin2xy(2)若 是锐角,则 xycosi的值域。答案:(1)31,0(2) ,(12. 可化为形如: BxAy)sin的形式(一个角的一个三角函数)例 22 已知函数 x22sincoi3co,求“一套” 。亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载亿库教育网 http:/www.ek
12、u.cc 百万教学资源免费下载答案:2)6sin(2xy,定义域:R;值域: 4,0, maxy, 0in;T对称轴)(2Zkx增区间:6,3k减区间:)(3,613. 函数 BxAy)sin(的图像的变换两个题型,两种途径题型一:已知解析式 xy)sin(确定其变换方法变换有两种途径:其一,先平移后横向伸缩;其二,先横向伸缩后平移。注:关注先横向伸缩后平移时平移的单位与 的关系题型二:由函数图像求其解析式 BxAy)si(例 23 已知函数 )sin(xAy, ( 0,, 2)在一个周期内,当 6x时,y有最大值为 2,当 3时, y有最小值为 ,求函数表达式,并画出函数)sin(xA在一个周期内的简图。 (用五点法列表描点)答案:)62si(y
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