一元一次方程应用题拔高-题型全-含详细答案-可编辑.docx

1、初中数学同步课程 一元一次方程. 1 / 13一元一次方程的应用1、列方程解应用题的基本步骤和方法：步骤 要求 注意事项审题读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系审题是分析解题的过程，解答过程中不用体现出来设元设未知数把各个量用含未知数的代数式表示出来设未知数一般是问什么，就直接设什么为 x，即直接设元直接设元有困难时，可以间接设元列方程 根据等量关系列出方程 避免列出恒等式解方程解这个方程，求出未知数的值 如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量检验把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验列一元一次方程解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来方程的解

2、要符合实际问题作答 写出答案，作出结论这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求注意：（1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意） ，不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可（3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题2、设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：（1） “直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；（2） “间接设元”：有

3、些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用（3） “辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去（4） “部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题初中数学同步课程 一元一次方程. 2 / 13模块一：数字问题（1）多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为 a、b， （其中 a、b 均为整数， ， ）则这个19a0

4、b两位数可以表示为 10ab一个三位数的百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c， （其中均为整数，且 ， ，9）则这个三位数表示为： 09c10c（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为 2k，奇数可表示为 （其中 k 表示整数） 21k（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为 a，则这三个相邻的整数可表示为 1,a【例 1】 一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了 96 分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了 36，而正确答案的个位数字是十位数字的 2 倍正确答案是多少?【解析】此题中数据 96 与列方

5、程无关与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量设正确答案的十位数字为 ，则个位数字为 ，x2x依题意，得 ，解之得 (102)(10)364于是 所以正确答案应为 488x【答案】 4【例 2】 某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是 2，如果把 2 移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的 2 倍少 6，求这个年份【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为 x，则这个四位数字可以表示为，根据题意可列方程： ，解得210x102106x49【答案】2499 年【例 3】 有一个四位数，它的个位数字是 8，如果将个位数字 8 调到千位上，则这个数就增加 117，求这个四

6、位数【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为 x，则这个四位数可以表示为，则调换后的新数可以表示为 ，根据题意可列方程 ，解得108x80x10817x，所以这个四位数为 875875【答案】8758初中数学同步课程 一元一次方程. 3 / 13【例 4】 五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔 1小时看到的路边里程碑上数的信息你能确定小明在 7:00 时看到的里程碑上的数是多少吗？【解析】设小明在 7:00 时看到的两位数的十位数字是 x，则个位数字是 ，根据题意可列方程：7x，解得 ，所以 10710710710xx176x

7、【答案】小明在 7:00 时看到的两位数是 16模块二：日历问题（1） 、在日历问题中，横行相邻两数相差 1，竖列相邻两数相差 7（2） 、日历中一个竖列上相邻 3 个数的和的最小值时 24，最大值时 72，且这个和一定是 3 的倍数（3） 、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是 31 天，四、六、九、十一这四个月每月都是 30 天，二月平年 28 天，闰年 29 天，所以，日历表中日期的取值是有范围的【例 5】 下表是 2011 年 12 月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出 4 个数，（1）若框出的 4 个数的和为 74，请你通过

8、列方程的办法，求出它分别是哪 4 天？（2）框出的 4 个数的和可能是 26 吗？为什么？【解析】 （1）设第一个数是 x，则根据平行四边形框框出 4 个数得其他 3 天可分别表示为 ， ，1x67x根据题意可列方程： ，解得 ；167x15x所以它分别是：15，16，21，22；（2）设第一个数为 x，则 ， ，本月 3 号是周六，由平行四边形框框出 4 个数，42时间 里程碑上数的特征7:00 是一个两位数，它的个位数字与十位数字之和是 78:00 十位数字和个位数字与 7:00 时所看到的正好颠倒了9:00 比 7:00 时看到的两位数中间多一个 0初中数学同步课程 一元一次方程. 4

9、/ 13得出结论：无法构成平行四边形【答案】 （1）15，16，21，22；（2）无法构成平行四边形【例 6】 如图，框内的四个数字的和为 28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为 68，这样的长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为 49？若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由【解析】 （1）设四个数字是 a， ， ， ，根据题意可列方程：178a，解得 则平移后的四个数是 13、14、20、21786a3（2）设四个数字是 x， ， ， ，则 ， 不合题意，舍去x4169x34x【答案】平移后的四个数是 13、14、20、21，这样的长方形的位置只有 1 个；不存在能使

10、四个数字的和为49 的长方形【例 7】 把 2012 个正整数 1，2，3，4，2012 按如图方式排列成一个表（1）用如图方式框住表中任意 4 个数，记左上角的一个数为 x，则另三个数用含 x 的式子表示出来，从小到大依次是_（2）由（1）中能否框住这样的 4 个数，它们的和会等于 244 吗？若能，则求出 x 的值；若不能，则说明理由【解析】 （1） 记左上角的一个数为 x，另三个数用含 x 的式子表示为： ， ， 8x1624x（2）不能假设能够框住这样的 4 个数，则： ，解得 81624949 是第七行最后一个数，不可以用如图方式框住【答案】 （1） ， ， ；（2 ）不能8x16x

11、模块三：和差倍分问题初中数学同步课程 一元一次方程. 5 / 13和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几（1）当较大量是较小量的几倍多几时， ；=较 大 量 较 小 量 倍 数 +多 余 量（2）当较大量是较小量的几倍少几时， 较 大 量 较 小 量 倍 数 -所 少 量【例 8】 一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ；第二天耕了剩下部分的 ，还剩下 42 公顷没耕2313完，则这片地共有多少公顷？【解析】设这片地共有 x 公顷，第一天耕了这片地的 ，则耕地 公顷，第二天耕了剩下部分的 ，则x13第二天耕地 （公顷） ，根据题意可列方程： ，解得 12139x 21439x89x【答

12、案】189 【例 9】 牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有 100 只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满 100 只 ”问牧羊人的这群羊共有多少只?【解析】设这群羊共有 只，根据题意可列方程： ，解得 .x12104x36x【答案】36【例 10】 有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的 倍，细蜡烛点完需 小时，粗蜡烛点21完需 小时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩2的长度一样，

13、问停电的时间有多长？【解析】设停电时间为 小时，粗蜡烛长 米，则细蜡烛长 米，那么细蜡烛每小时点燃 米，粗蜡烛没xll 2l小时点燃 米，根据题意可列方程： ，解得2l 22lx23x【答案】停电时间为 小时3【例 11】 2006 年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010 年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金 3.6 亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约 2.98 亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的 1.5 倍、18 倍】 ，且 2010 年此项资金比 2009 年增加 1.69 亿元（1）2009 年我市筹

14、措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元？（2）2010 年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补”专项资金各多少亿元？（3）如果按 2009-2010 年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计 2011 年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？【解析】 （1） （亿元） .691.初中数学同步课程 一元一次方程. 6 / 13（2）设市级投入 x 亿元，则县级投入 亿元，省级投入 亿元，23x18x由题意得： ，解得 所以 （亿元） ， （亿元）21.98.630.3620.410.28x（3） （亿元） 1.6.【答案】

15、 （1）1.91 亿元；（2）省、市、县分别投入 0.02 亿元、0.36 亿元、0.24 亿元；（3 ）6.8 亿元模块四：行程问题一、 行程问题路程=速度时间 相遇路程=速度和相遇时间 追及路程=速度差追及时间二、 流水行船问题顺流速度=静水速度+ 水流速度 逆流速度=静水速度水流速度水流速度= （顺流速度逆流速度）12三、 火车过桥问题火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速过桥时间=车长+桥长【例 12】 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙背向而行甲

16、每分钟走 40 米，乙每分钟走 38 米，丙每分钟走 36 米出发后，甲和乙相遇后 3 分钟和丙相遇，求花圃的周长【解析】设甲、乙相遇时间为 t 分钟，则甲、丙相遇时间为 分钟，根据题意，由相遇路程相等可列3t方程 3864036t【答案】8892 米【例 13】 某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行 30 千米，那么比火车开车时间早到 15 分钟，若每小时行 18 千米，则比火车开车时间迟到 15 分钟，现在此人打算在火车开车前 10 分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为 小时，x根据题意可列方程： ，解得 ，1530()8()60

17、x1x此人打算在火车开车前 10 分钟到达，骑摩托车的速度应为 （千米/时）1530()627【答案】27初中数学同步课程 一元一次方程. 7 / 13【例 14】 甲、乙两车同时从 A，B 两地出发，相向而行，在 A，B 两地之间不断往返行驶甲车到达B 地后，在 B 地停留了 2 个小时，然后返回 A 地；乙车到达 A 地后，马上返回 B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离 B 地 288 千米已知甲车的速度是每小时 60 千米，乙车的速度是每小时 40 千米请问：A，B 两地相距多少千米？【解析】设 A、B 两地相距 x 千米，根据题意可列方程： ，解得282406x420x【答

18、案】420 千米【例 15】 某人骑自行车从 A 地先以每小时 12 千米的速度下坡后，再以每小时 9 千米的速度走平路到B 地，共用了 55 分钟回来时，他以每小时 8 千米的速度通过平路后，再以每小时 4 千米的速度上坡，从 B 地到 A 地共用 小时，问 A、B 两地相距多少千米？12【解析】间接设未知数，设从 A 地到 B 地共用 x 小时，根据题意可列方程：，解得 ，所以 A、B 两地相距 （千米）531294860tttt14t512960tt【答案】9 千米【例 16】 一人步行从甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，这样 10 天可以到达乙地

19、；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用 15 天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？【解析】设 a 是第一次第一天走的路程，b 是第二天起每天多走的路程， x 是所求的天数则根据题意可列方程：，1523456789abababab（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）解得 9ab又 ，解得 x7.5x【答案】7.5 天【例 17】 一只小船从甲港到乙港逆流航行需 2 小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需 3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？【解析】设小船在静水中的速度为 ，原来的水速为 ，

20、则 ，解得 ，故所求时间ab()3(2)ab4ab为 （小时）.2()1ab【答案】 1初中数学同步课程 一元一次方程. 8 / 13【例 18】 一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10 分钟后转身追赶木筏，终于在离桥 1500 米远的地方追上木筏，假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？【解析】因为向上游了 分钟，所以返回追赶也要 分钟（流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度1010无关） ，即水流 分钟的路程为 米，水流速度为 （千米时） 251.54.3【答案】水流速度为 千米/时4.5【例 19】 一小船由 A 港到

21、B 港顺流需行 6 小时，由 B 港到 A 港逆流需行 8 小时，一天，小船从早晨6 点由 A 港出发顺流行至 B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1 小时后找到救生圈问：（1）若小船按水流速度由 A 港漂流到 B 港需多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？【解析】 （1）设小船在静水中的速度为 ，水流速度为 ，则 ，解得 ，故小船按ab6()8()ab7ab水流速度由 A 港漂流到 B 港所需时间为 （小时） ；()4（2）设小船行驶 小时后，救生圈掉入水中，则 ，将x61)()1(6)xbaxab代入上式，得到 ，故救生圈是上午 11 点掉入水中的7ab5【答案】 ；485

22、模块五：工程问题工作总量=工作时间 工作效率 各部分工作量之和=1【例 20】 有甲、乙、丙三个水管，独开甲管 5 小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2 小时可注满一池水；甲、丙两管齐开，3 小时注满一池水现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后 2 小时水池注满问三管齐开了多少小时？【解析】由题意知，甲管注水效率为 ，甲、乙两管的注水效率之和为 ，甲、丙两管的注水效率之和为1512，设三管齐开了 x 小时，根据题意可列方程： ，解得13 1235xx419x【答案】 小时49【例 21】 检修一住宅区的自来水管道，甲单独完成需 14 天，乙单独完成需 18 天，丙单独完成需 1

23、2天前 7 天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后 2 天由乙、丙两人合作完成，问乙初中数学同步课程 一元一次方程. 9 / 13中途离开了几天？【解析】设乙中途离开了 x 天，根据题意可列方程 ，解得1172488x3x【答案】乙中途离开了 3 天【例 22】 某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳 16 套，乙每天修桌凳比甲多 8 套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用 20 天，学校每天付甲组 80 元修理费，付乙组 120 元修理费（1）问该中学库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天 10 元

24、生活补助费，现有三种修理方案：由甲单独修理；由乙单独修理；甲、乙合作同时修理你认为哪种方案省时又省钱为什么？【解析】 （1）设该中学库存 x 套桌凳，根据题意可列方程： ，解得 20164x960x（2）方案所需费用： （元） ；96081540方案所需费用： （元） ；24方案所需费用： （元） 960810541综上，方案最省钱【答案】 （1）960 套；（2 ）方案 最省钱模块六：商品销售问题在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：利润=售价进价=1+标 价 进 价 利 润 率 =10%利 润利

25、润 率 进 价利润=进价利润率 实际售价=标价打折率【例 23】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 ，使得利润增加了 8 个百分点，6.4求经销这种商品原来的利润率.【解析】设经销这种商品原来的利润率为 ，原进价为 ，根据题意可列方程：xa，解得 (1)(6.4%)(18)ax17%初中数学同步课程 一元一次方程. 10 / 13【答案】 17%【例 24】 某商品月末的进货价为比月初的进货价降了 8%，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高 10%，问月初的利润率是多少？【解析】设月初进货价为 a 元，月初利润率为 x，则月初的销售价为 元，月末进货价为1ax元，销售价为 元

26、，根据月初销售价与月末销售价相等可列方程：18%a18%10，解得 0xx.5【答案】 5【例 25】 某公司生产一种饮料是由 A，B 两种原料液按一定比例配制而成，其中 A 原料液的成本价为15 元/ 千克，B 原料液的成本价为 10 元/千克，按现行价格销售每千克获得 70%的利润率由于市场竞争，物价上涨，A 原料液上涨 20%，B 原料液上涨 10%，配制后的总成本增加了 12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的 25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是多少？【解析】原料液 A 的成本价为 15 元/千克，原料液 B 的成本价为 10 元/千克，涨价后，

27、原 A 价格上涨 20%，变为 18 元；B 上涨 10%，变为 11 元，总成本上涨 12%，设每 100 千克成品中，二原料比例 A 占 x 千克，B 占（100-x）千克，则涨价前每 100 千克成本为 ，涨价后每 100 千克成本为 ，150180xx根据题意可列方程： ，解得 ，所以81502%xxx76017x即二者的比例是： ，则涨价前每千克的成本为 （元） ，销售价为 元，:16AB1560712.57利润为 7.5 元原料涨价后，每千克成本变为 12 元，成本的 25%为 3 元，保证利润为 7.5 元，则利润率为： 7.512350%【答案】50% 模块七：方案决策问题在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案