数学规划论文-马科维兹模型及其改进.doc

1、马科维兹模型及其改进摘要：证券投资者通过把资金投资一种或几种收益较高的证券以获得最大限度的收益，但是收益与风险是相辅相成的，高收益必然包含高风险.因此投资者需要选择若干证券加以组合，以分散其投资风险，尽可能的实现低风险和高收益.1952 年马科维兹理论的提出开创了金融理论的先河，改变了人们经验投资的传统，使投资组合更加科学性和广泛性.马科维兹模型实质是在不损失收益率的条件下最大限度地分散投资风险，能够指导人们科学地选择证券投资组合以实现效益最大化.本文主要介绍马科维兹理论及模型的建立以及最新的研究进展，并在此基础上提出了三种模型目标函数的改进方案：引进决策系数 、引进厌恶偏好程度 及目标规划，

2、并对此进行了对比分析.三种改进方案都能使原本的多目标规划转化为单目标规划，并且都有其适用的范围：决策系数 适用于比较两种不同投资组合的优劣；引进偏好程度能够在未给定预期收益及预期风险下定制个人的最优投资组合；利用目标规划能够使个人选择尽可能的达到自己预期的最优投资组合.关键字：马科维兹模型；投资组合；数学规划Markowitz model and its improvementAbstract:Securities investors get Investment income by investing one or more higher-yielding securities.But be

3、nefits and risks are complementary to each other, high-yield inevitably contains high risk.So investors need to choose a number of securities portfolio to diversify risk and get low risk and high yield. Markowitz, who created Markowitzs Portfolio Theory, changed the convention of investment and make

4、 portfolio theory more scientific and comprehensive.Markowitz model essential is under the condition of no loss of yield maximum disperse investment risk,which can direct people to choose science portfolio to achieve the benefit maximization.This paper introduces Markowitzs Portfolio Theory and puts

5、 forward three models on the basis of the objective function:decision coefficient ,disgusting appetite and objective programming.Three kinds of improve models can make the multi-objective programming transformed into single objective programming and they have different applicable scopes. First,decis

6、ion coefficient can compare the merits of the two different portfolios.Second,disgusting appetite is able to customize the individual optimal portfolio without expected profit and expected risk.Last,objective programming can make people get the optimal portfolio.Key words: Markowitz model; Investmen

7、t portfolio; Mathematical programming3目 录摘要 .1引言 .41.证券投资 .52.马科维兹模型 .62.1 马科维兹投资组合理论基础 .62.1.1 模型的假设 .62.1.2 预期收益 .72.1.3 预期风险 .72.2 证券投资的有效组合 .92.2.1 无差异曲线 .102.2.2 有效市场边界 .112.2.3 最优投资组合的选择 .122.3 马科维兹投资决策模型的建立 .122.4 用 Lagrange 方法解马柯维茨模型 .143.模型的改进 .153.1 改进一：引入决策变量 .163.2 改进二：引入偏好程度 .173.3 改进三：

8、目标规划 .183.4 总结 .204.对马科维兹模型的评价 .214.1 优越性 .214.2 局限性 .21参考文献 .234引言随着经济发展，证券投资 4越来越融入人们的日常生活，而在 1952 年前人们都是根据经验来进行金融资产投资，得出了例如“不要把所以鸡蛋放在一个篮子里”等投资理念.直到美国经济学家马科维兹在美国金融杂志上发表了题为“投资组合选择” 9一文，开创了现代资产组合理论，使得投资上升到理论的高度，更加科学化、实用化.马科维兹模型提出后，很多的专家学者对此进行了研究，如戴玉林在马科维兹模型的分析与评价一文中对该模型进行了详细的分析指出了该模型存在的很多缺陷与不足 10；朱书

9、尚等探讨了投资组合与金融优化，从理论研究和时间上进行了分析与反思 3.而对于投资组合模型的研究，大致可分为三个方向：1.投资组合模型的改进；2.投资组合模型的实证分析；3.模型求解及方法的研究.由于马科维兹模型是建立在对实际情况理想化、简单化地基础上，必然存在很多不足可以改进，如马科维兹本人也在建立模型后提出用半方差代替方差以解决离中趋势非对称的问题 11；而针对原模型不宜求解等问题，夏普进行了改进提出了单指数模型 12，而郁维对这两种模型对中国资本市场进行了可行性分析 13；有学者借助物理、经济等学科知识对模型进行改进，如郑丕谔等借助熵理论对其进行了改进，并通过构造性实例进行了验证 14；还

10、有学者从不同的角度切入对模型进行改进，如金秀等从投资者的心理特征出发，建立了加权极大-极小随机模糊投资组合模型，并用实证方法进行了验证 15.对比于模型的改进，对于投资组合模型的实证分析主要是用于验证模型的改进以及模型求解方法的优化，如李伯德在最优投资组合的数学模型中结合了案例分析 6，谢军等实证检验了投资者情绪与风险资产投资负相关这一结论 16.从马科维兹模型提出后对于标准模型的求解就是很多学者研究的对象，而马科维兹模型的简单求解以及理论基础在数学规划以及相关优化书籍中都有提5,7,8.求解方法有临界线算法、利用因子模型或线性变化构造一个稀疏的协方差矩阵进行计算、修改风险从而使用线性规划模型

11、来求解等，而近年张忠桢等提出的旋转算法不仅较为简便，而且可以快速计算出马科维兹意义下的有效组合1,2.5本文主要是对马科维兹理论进行了详细的介绍以及相关的研究进展，并在马科维兹标准模型之上对三种改进模型进行了对比分析，并对标准模型进行了详细的优缺点整理.1.证券投资证券投资，就是将资金用于购买股票、债券等金融资产，它与实业投资不同，它不需要对资产的具体生产经营活动进行组织和管理，只需投入资金来分享利润或从买卖证券的差价中获取利润.一般来说，证券投资是指投资者通过购买有价证券，在一段时间内获取利润的过程.当然，带来收益的同时，也必然伴随着一定的风险.所谓风险，是指在决策过程中，由于各种不确定因素

12、的作用，决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性以及可能损失的程度.人们进行证券投资的最直接的动机是获得收益，因而投资决策的目标是使收益最大化，但由于收益与投资之间在时间上的滞后，这种滞后导致收益受许多未来不确定因素的影响，从而使得收益成为一个未知量.投资者在进行决策时只能根据经验和所掌握的资料对未来形式进行判断和预测，形成对收益的预期.受不确定因素的影响，证券投资的未来收益可能偏离其预期，这种偏离将导致投资者可能面临得不到预期的收益甚至亏损的危险，这种危险就是证券投资风险.投资者在进行投资决策时，不仅要考虑投资的收益，还要考虑投资的风险，而收益与风险是相辅相成的，通常风险小的金融资产收益小，

13、收益大的资产其风险也大.投资决策的目标应该是追求收益的最大化和风险的最小化.如何在收益和风险这一对相互关联、相互作用的矛盾中寻求某种平衡，有效地实现预期的投资目标，关键还在于有效地控制和规避风险.那么选择哪几种证券进行投资，投资的比例多大就显得尤为重要，只有最优的投资组合才能在风险最小的情况下获得利益的最大化，这是个困扰无数投资者的难题.在 1952 年之前，人们通过经验判断来进行金融资产投资，总结出很多投资格言如“不要把所有鸡蛋放在一个篮子里”、“何时买卖比何种买卖更为重要”等.从格言中进而发展出所谓的金融投资理论，如公式投资计划、等级投资计划6等，而这些理论实际是指导人们进行投资活动的具体

14、投资操作，更进一步发现这些操作并不能指导人们获得平均收益.在 1952 年，美国经济学家马科维兹在美国金融杂志上发表了题为“投资组合选择”一文，开创了现代资产组合理论，使得投资上升到理论的高度，更加科学化和实用化.本文主要介绍马科维兹投资决策模型理论及其改进.2.马科维兹模型2.1 马科维兹投资组合理论基础2.1.1 模型的假设马柯维茨的投资组合理论认为，投资者是风险回避的，他们的投资愿望是追求高的预期收益，他们不愿承担没有相应的预期收益加以补偿的额外风险.同时马柯维茨认为，投资组合的风险不仅与构成组合的各种证券的个别风险有关，而且受各证券之间的相互关系的影响.基于上诉考虑，提出了下面六点假设

15、：呈现在投资者面前的每一项投资是在一段时期上的预期收益的概率分布， 1即投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资；投资者为理性的个体，服从不满足和风险厌恶假设，投资者的目标是单 2期效用最大化，而且他们的效用函数呈现边际效用递减的特点；投资者以投资的预期收益的波动性来估计投资的风险； 3投资者仅依靠预期的投资风险和收益来做出投资决定，所以他们的效用 4函数只是预期风险和收益的函数；在给定预期风险后，投资者偏好更高的预期收益，另一方面，在给定预 5期收益后，投资者偏好更低的风险；市场是完全的，即市场不存在交易费用和税收，不存在进入或者退出市 6场的限制，所有的市场参与者都是价格的接受者，市场信息

16、是有效的，资产是完全可以分割的.从上诉假设中可知：投资者进行投资组合时仅考虑投资的预期收益和预期风险.72.1.2 预期收益预期收益率是指未来可能收益率的期望值，也称期望收益率.对于单一证券而言未来的状态是不定的，而在每种状态下的收益也不同，用期望收益率来表示预期收益.同理对于多种证券的收益也用相同的表示方法.单一证券的预期收益 1单一证券 的预期收益，这种证券在未来有 种状态，那么证券 的预期收i si益为：， ，1()NiisErp1NsP其中 为期望收益率； 为状态 出现的概率；()iErs为针对状况 出现时证券 的收益率； 为各种可能状况的总数.issi证券组合的预期收益 2在得到单一

17、证券的预期收益后可以得到证券组合的预期收益， 表示包含pr在组合中各种资产的预期收益的加权平均数，其表达式为：， ，1()()NpiiiErxr1Niix其中， 为证券组合的期望收益率； 为组合中证券 的预期收益；()pEr iEi为组合中证券 所占的比例，即权数； 为组合中证券的种类 .ixi N2.1.3 预期风险风险本身有多种含义，并随着时间的推移，风险的含义也在不断地发展变化.在马柯维茨理论中，把风险定义为投资收益率的波动性.收益率的波动性越大，投资的风险就越高.收益率的波动性，通常用标准差或方差表示.标准差是各种可能的收益率偏离期望收益率的综合差异，是用来衡量证券8收益的风险程度的重

18、要指标，标准差越大，证券的风险也就越大.单一证券 的预期风险，即方差和标准差的计算公式如下： 1 i方差： ,221()NiisisrEp标准差： ,21()Niisisr其中， 、 分别表示证券 的方差和标准差；其余符号的含义与前述预2ii期收益的计算公式相同.证券组合的预期风险 21）协方差证券组合的风险不仅于每种证券的风险有关，而且证券之间的相互关系也会对组合的风险产生影响.证券之间相互影响产生的收益的不确定性可以用协方差来表示.协方差是衡量两个随机变量例如证券 的收益率和证券 的收益率之ij间的互动性的统计量.如果用 表示证券 和 之间的协方差，那么：ijj.()()ijjiisijs

19、jErrE如果两种证券之间的协方差为正值，表明两种证券的收益率倾向于同一方向变动，即一种证券的实际收益率高于期望收益率的情形可能伴随着另一种证券相同的情形发生.如果两种证券之间的协方差为负值，则表明两种证券之间存在着一种反向的变动关系，一种证券的收益率上升可能伴随着另一种证券收益率的下降.一个相对较小或者为零的协方差则表明两种证券的收益率之间只有很小的互动关系或者没有人和互动关系即相互独立.证券之间的协方差越大，那么由它们构成的证券组合的风险也就越大.2）相关系数两种证券之间的收益互动性还可以用另外一个统计量来表示，即两者之间的相关系数.假设 和 分别为证券 和 的收益标准差， 是两种证券之间

20、ij ijij的协方差，则其相关系数 的计算公式为：ij9.ijijij相关系数 的范围是 ， 表示两种证券收益结果的变化ij1ij1ij方向完全不相同，称为完全负相关； 表示两种证券收益结果的变化方向ij完全相同，称为完全正相关； 表示两种证券收益结果的变动之间不存在0ij任何关系；相关系数 在 区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相ij(1,)反，但不是百分之百地完全相反，只存在一般性的负相关关系；相关系数 在ij区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相同，但不是百分之百地完全(0,1)相同，只存在一般性的正相关关系.必须注意，相关系数 0 时，即证券 和iji证券 不相关只表明证券 和

21、证券 不存在线性相关关系，但并不排除证券 和jij证券 有其它形式（非线性的）相依关系 .一般来讲，如果两种证券之间的相关系数 ，则可能会降低组合后的ij投资风险，而如果它们之间的相关系数 ，则可能会加大组合后的投资风0ij险.3）证券组合的方差和标准差投资组合的预期风险 为：2p.21Npijiijx标准差 就为：p.1Npijiijx其中，当 时， 表示证券 和证券 收益的协方差，反映了两种证券ijij的收益在一个共同周期中变动的相关程度， 、 表示组合中证券 ， 所占ixj ij的比例；当 时， 表示证券 i 收益的方差.ji2iij2.2 证券投资的有效组合从上面可知，有了证券组合的收

22、益和风险以及它们的衡量方法，那么什么10样的证券组合才是最有效的组合呢？换句话说，投资者面临众多可以选择的证券时，如何进行组合，改变不同证券的投资比例，才能实现既定期望收益率下风险最小或者既定风险下期望收益最大的目标？马柯维茨采用“期望收益率方差投资组合模型”来解决证券的确定和选择问题.2.2.1 无差异曲线投资者在进行投资决策之前都会衡量自己对风险收益的偏好程度，这就需要利用无差异曲线了.一条无差异曲线代表能提供给投资者相同效用量的一系列风险和预期收益的组合.在同一条无差异曲线上的组合对于投资者来说是无差异的.无差异曲线可以在预期收益率标准差平面上表示出来，其中横轴表示用标准差所测度的风险，

23、纵轴表示用预期收益率测度的收益，如图 1 所示.2U3()Er1图 1 无差异曲线无差异曲线表现出以下几个特点：1）每一个投资者都有无数条无差异曲线，位于上方的无差异曲线所代表的效用水平比下方的无差异曲线所代表的效用水平高，这是因为在同一风险水平下，上方的无差异曲线提供更高的预期收益，从另一个角度来看，在同一预期收益率水平下，上方的无差异曲线能提供更小的风险；2）每一条无差异曲线都是上升的，因为投资者是风险厌恶的，所以如果要让他承担更大的风险就必须支付更高的收益；3）无差异曲线上升的速度是递增的，也就是说无差异曲线是下凸的，这说明随着风险的增加投资者对它的厌恶程度是上升的，为弥补增加的一单位风险必须支付更多的收益；