三角函数知识点及例题讲解.docx

1、 三角函数知识点1.特殊角的三角函数值：30 45 60 0 90 180 270 15 75sin21230 1 0 1 624624co311 0 1 0 tan1 30 0 2- 32+ 3cot31 0 0 2+ 2-2. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： 222222sincos1,tansec,1otcs（2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,（3）商数关系： iota,tssi）3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sinsincosinsin2icos令 22222 in1sitat +cstan os1ninta

2、ta1n令 （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ，()()2()()， ， 等） ，2()()22(2)三角函数次数的降升( 降幂公式： ， 与升幂1coscs21cosin公式： ， )。如21coss21osin(；(3)常值变换主要指“1”的变换（ 221sincox22setantcotxx等） ，.tansi42。（4）周期性： 、 的最小正周期都是 2 ； 和sinyxcosyx()sin()fxAx的最小正周期都是 。如()cos()fxA2|T（5）单调性： 上单调递增，在i2,yxkkZ在单调递减； 在

3、上单调递减，在32,kZcosyx2,kZ上单调递增。特别提醒，别忘了 ！ k(6)、形如 的函数：sin()yAx1 几个物理量：A振幅； 频率（周期的倒数） ；1fT相位； 初相；x2 函数 表达式的确定：A 由最值确定；sin()yx 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 ()sin()0,fxAx， 的图象如图所示，则 _（答：|)()fx 1523） ；3 函数 图象的画法：“五点法”设 ，令 0 ，sin()yAxXxX求出相应的 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：,2这是作函数简图常用方法。4 函数 的图象与 图象间的关系：函数 的图象sin()yxksiny

4、xsinyx纵坐标不变，横坐标向左（ 0）或向右（ 0）平移 个单位得 的图| 象；函数 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到函数i 1的图象；函数 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的sinyxsinyxA 倍，得到函数 的图象；函数 图象的横坐标不变，sin()yAxsin()yAx纵坐标向上（ ）或向下（ ） ，得到 的图象。要特别注意，0k0kk若由 得到 的图象，则向左或向右平移应平移 个单位，如sinyxi|（1）函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象？2s()14x sinyx（答： 向上平移 1 个单位得 的图象，再向左平iy 2sin()4yx23题 图29YX-22

5、3移 个单位得 的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得 的图象，最后82sinyx sinyx将纵坐标缩小到原来的 即得 的图象） ；1sinyx2.正、余弦定理：在 中有:ABC正弦定理： （ 为 外接圆半径）2sinisinabcRABC注意变形应用2isinRbBcCsi2nabBRc面积公式： 11sisisin22ABCSababcA余弦定理： 22cosAbaBcbC2222ocsocabBacCb1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象函 数性质定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当时，2xk；ma1y当 2xk时， min1y当 时，

6、2xk；may当 xk时， min1y既无最大值也无最小值周期性 2奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；在32,2k上是减函数在上,2kk是增函数；在,k上是减函数在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2xk对称中心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴三角函数例题讲解例 1 已知角的终边上一点 P（ ，m ），且 sin= m，求 cos与 tan的值 3分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出 m 的值，从而应寻求 m 的方程 解 由题意知 r= ，则 sin= = 3 m2mr又

7、sin= m， = m m=0，m= 5当 m=0 时，cos= 1 ， tan=0 ；当 m= 时，cos= ， tan= ；5当 m= 时，cos = ，tan= 5例 2 设 是第二象限角，且满足sin |= sin ， 是哪个象限的角? 222解 是第二象限角， 2k+ 2k+ ，kZ232k+ k+ ，kZ 4234 是第一象限或第三象限角 2又 sin |= sin ， sin 0. 是第三、第四象限的角 2222由、知， 是第三象限角 2第 2 课 同角三角函数的关系及诱导公式【讲练平台】 例 1 化简 sin(2-)tan(+)cot(-)cos(-)tan(3-)分析 式中含

8、有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化 解 原式= = （ -sin） tan -cot(+) (-cos)tan(-)(-sin)tan(-cot)(-cos)(-tan)= =1 例 2 若 sincos= ，( ， )，求 cossin 的值 1842分析 已知式为 sin、cos 的二次式，欲求式为 sin、cos 的一次式，为了运用条件，须将 cossin 进行平方 解 (cossin) 2=cos2+sin22sincos=1 = 1434( ， )， cossin 42cossin= 变式 1 条件同例， 求 cos+sin的值 变式 2 已知 cossi

9、n= ， 求 sincos，sin+cos 的值 例 3 已知 tan=3求 cos2+sincos的值 分析 因为 cos2+sincos是关于 sin、cos 的二次齐次式，所以可转化成 tan的式子 解 原式=cos 2+sincos= = = cos2+sincoscos2+sin21+tan1+tan225第 3 课 两角和与两角差的三角函数（一） 例 1 已知 sinsin= ，cos cos= ，求 cos()的值 1312分析 由于 cos()=coscos+sinsin 的右边是关于 sin、cos 、sin、cos 的二次式，而已知条件是关于 sin、sin、cos、cos

10、 的一次式，所以将已知式两边平方 解 sinsin= ， coscos= ， 1312 2 2 ，得 22cos()= 1336cos()= 7259例 2 求 的值 2cos10-sin20cos20分析 式中含有两个角，故需先化简注意到 10=3020，由于 30的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角 解 10=3020， 原式 = 2cos(30-20)-sin20cos20= = = 2(cos30cos20+sin30sin20)-sin20cos20 3点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法 例 3 已知：sin(+)= 2sin 求证：tan=3tan(+) 分析 已知式中

11、含有角 2+和 ，而欲求式中含有角 和 +，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角 解 2+=(+)+，=(+)， sin(+)+= 2sin (+) sin(+)cos+cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+)sin 若 cos(+)0 ，cos 0，则 3tan(+)=tan 点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将 +看成一个整体 第 4 课 两角和与两角差的三角函数（二） 【讲练平台】 例 1 求下列各式的值 （1）tan10 tan50+ tan10tan50； 3(2) (1)解 原式=tan(10+50)（1tan10tan50）

12、+ tan10tan50= 3 3（2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦 解 原式= = 24cos1in3= 48sin21)12cos3(3cs12osin3= .3448si)60(点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式 tanA+tanB=tan(A+B)（1 tanAtanB），asinx+bsinx= sin(x+)的运用；（ 2）在三角变换中，切割化弦是常2ba用的变换方法 第 5 课 三角函数的图象与性质（一） 例 1 （ 1）函数 y= 的定义域为 xsin21)talg(2)若 、 为锐角，sincos，则 、 满足 （C） A

13、 B C+ D + 22分析 （1）函数的定义域为 (*) 的解集，由于 y=tanx 的最小正周期为0.sinx-1,ta， y=sinx 的最小正周期为 2， 所以原函数的周期为 2，应结合三角函数 y=tanx 和 y=sinx 的图象先求出( ， )上满足（*）的 x 的范围，再据周期性易得所求定义域为232x2k x2k + ，或 2k+ x2k + ，kZ 265654分析（2）sin、cos 不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos转化成 sin( )，2运用 y=sinx 在0， 的单调性，便知答案为 C 2例 4 已知函数 f(x)=5sinxcosx5 cos2x+ (xR) 35(1)求 f(x)的单调增区间； （2）求 f(x)图象的对称轴、对称中心 分析 函数表达式较复杂，需先化简 解 f(x)= sin2x5 =5sin(2x ) 52 31+cos2x2 353（1）由 2k 2x 2k+ ，得k ，k + （kZ）为 f(x)的单调增区间 23212512