复变函数与积分变换期末试题附有答案.doc

1、共 6 页第 页1复变函数与积分变换期末试题一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1 的幅角是（ ） ；2. 的主值是（ 23i2,10,23k)1(iLn） ；3. ， （ 0 ） ，4 是 i4ln2)(zzf )(5f 0z的（ 一级 ）极点；5 ， （-1 4siz zf1)(),(Refs） ；二选择题（每题 3 分，共 15 分）1解析函数 的导函数为（ ） ；),(),()yxivuzf（A） ； （B） ；yxif)( yxiuzf)(（C） ； （D） .yxivuzf)( xyivf)(2C 是正向圆周 ，如果函数 （ ） ，则 3)(zf 0d)(Czf（A） ； （

2、B） ； （C） ； （D） .2z2)1(z2)(13z2)(3z3如果级数 在 点收敛，则级数在1nnzc共 6 页第 页2（A） 点条件收敛 ； （B） 点绝对收敛；2z iz2（C） 点绝对收敛； （D） 点一定发散 i1i1下列结论正确的是( )（A）如果函数 在 点可导，则 在 点一定解析；)(zf0)(zf0(B) 如果 在 C所围成的区域内解析，则)(f 0)(Cdzf（C）如果 ，则函数 在 C所围成的区域内一定解析；0)(Cdzf )(zf（D）函数 在区域内解析的充分必要条件是),(),()yxivyxuf、 在该区域内均为调和函数),(yxu,(v5下列结论不正确的是（

3、 ） (A) (B) 的 可 去 奇 点 ；为 z1sin的 本 性 奇 点 ；为 zsin(C) (D) ;1sin的 孤 立 奇 点为 z .sin1的 孤 立 奇 点为 z三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共 40 分）（1） 设 是解析函数，求)()( 2222 ydxcibyaxzf .,dcba解：因为 解析，由 C-R条件)(zf共 6 页第 页3yvxuxvuyda22,2dycxbya，,dc,1,给出 C-R条件 6分，正确求导给 2分，结果正确 2分。（2） 计算 其中 C是正向圆周：Czed)1(2解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计

4、算，仅给出用前者计算过程因为函数 在复平面内只有两个奇点 ，分别以zezf2)1() 1,021z为圆心画互不相交互不包含的小圆 且位于 c内21,z 21,c 21 d)(d)(d)( 222 CzCzCz eeeizeizei z)()( 021无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3） 334215d)()z zz解：设 在有限复平面内所有奇点均在： 内，由留数定理)(f 3z共 6 页第 页4-（5 分）),(Re2d)2()133415 zfsizzz -（8 分）)(Re2zfsi2342152)()(1)( zzzf 0,z)12()1)( 342 有 唯 一 的

5、 孤 立 奇 点zzf 1)2()1)(0,)(Re340202limli zzfzfs zz-（10 分）334215d)()(z iz（4）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？232)()(sin1)( zzf，如果有极点，请指出它的级.解 ： ，的 奇 点 为 ,32,10,)(sin)3(21)( 22 kzzzf （1） 的 三 级 零 点 ，）为 （03ksin,（2） 的 可 去 奇 点 ，是的 二 级 极 点 ，为， )()(, zfzzfz 21（3） 的 一 级 极 点 ，为 )(f共 6 页第 页5（4） 的 三 级 极 点 ；， 为 )(4,32zfz（5） 的 非

6、孤 立 奇 点 。为 )(f备注：给出全部奇点给 5分 ，其他酌情给分。四、 （本题 14分）将函数 在以下区域内展开成罗朗级数；)1()2zf（1） ， （2） ， （3）10z0z解：（1）当 )1()(1)(1)(2 zzf而 )(1)1(0nnnzz01)()nnnz-6分021)()()(nnnzzf（2）当 z=)1()(1)(22zzf 02nz共 6 页第 页6-10分02nz（3）当 z1)1()1()(32zzf -14分0303)()(nnzzzf每步可以酌情给分。五 （本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题： 1)0()(45yexxx解：对 的

7、 Laplace 变换记做 ，依据 Laplace 变换性质有)(x)(sL（5 分）1)(41)(5)(2 sssL整理得（7 分）)4(15)(6)1(0 1 )4(1)(sssssLxxeexy4)(（10 分）共 6 页第 页7六、 （6 分）求 的傅立叶变换，并由此证明：)()(0tetf tedt202cos解： -3分)()( 0 dteFti )()(00 tetetiti )()()( 000 dtdteii )()()(00 iititi-4分)()( 021 iiF- -5分)()()( 021 dFetfti )(2 eti )()sin(co012 dtt )(sis

8、2202 tidt， )(cos)( 002 ttf-6分共 6 页第 页8得分得分得分tedt202cos复变函数与积分变换期末试题简答及评分标准（B） 一 填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1 的幅角是（ ）；2.2i ,210,24k的主值是（ ）；3. ，)(iLn2ln1i 21)(zzf（ 0 ）；4 ， （ 0 ） )(7f 3sin)(zf),(Refs；5 ， （ 0 ）；21)(zf ,Re二选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1解析函数 的导函数为（ ） ；),(),()( yxivyxuzf（A） ； （B） ；xyif)( yxiuzf)(（C） ； （D）

9、 .yxivuzf)( yxif)(2C 是正向圆周 ，如果函数 （ ） ，则 2)(zf 0d)(Czf共 6 页第 页9（A） ； （B） ； （C） ； （ D） .13z13z2)1(3z2)1(3z3如果级数 在 点收敛，则级数在1nzci2（A） 点条件收敛 ； （B） 点绝对收敛；iz2（C） 点绝对收敛； （D） 点一定发散 iz11下列结论正确的是( )（A）如果函数 在 点可导，则 在 点一定解析；)(zf0)(zf0(B) 如果 ,其中 C复平面内正向封闭曲线, 则 在 C所围)(Cdf )(zf成的区域内一定解析；（C）函数 在 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一

10、定可以)(zf0展开成为 的幂级数，而且展开式是唯一的；0（D）函数 在区域内解析的充分必要条件是 、),(),()yxivuzf ),(yxu在该区域内均为调和函数),(yxv5下列结论不正确的是（ ） （A） 、 是复平面上的多值函数； 是无界函数；lnz cosz)B(、是复平面上的有界函数；（D） 、 是周期函数si)C(、 ze共 6 页第 页10三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分）（1）求 使 是解析函数，dcba, )()( 2222 ydxcibyaxzf 解：因为 解析，由 C-R条件)(zfyvxuxvuyda22,2dycxbya，,dc,1,给出 C-R条件 6分，正确求导给 2分，结果正确 2分。（2） 其中 C是正向圆周 ；Czzd)1(2 z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数 在复平面内只有两个奇点 ，分别以zzf2)1() 1,021z为圆心画互不相交互不包含的小圆 且位于 c内21,z 21,c 21 d)(d)(d)( 222 CCC zzzz 0)()1(2zzii得分