宜宾一中高16级高三上学期数学学科第九周教学设计.DOC

1、宜宾市一中高 16 级高三上学期数学学科第九周教学设计设计：肖昌龙。审核：陈谦61 数列的概念与简单表示法考点梳理1数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做 )，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项所以，数列的一般形式可以写成 ，其中 an 是数列的第 n 项，叫做数列的通项常把一般形式的数列简记作a n(2)通项公式：如果数列a n的 与序号_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为

2、正整数集 N*(或它的有限子集1，2，3，n) 的函数(离散的 )，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列_ (4)数列的递推公式：如果已知数列的第 1 项( 或前几项)，且从第二项(或某一项) 开始的任一项_与它的前一项_ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式(5)数列的表示方法有_、_、_ 、_.2数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为_、 _.(2)按项的增减规律分为_、_、_ 和_递增数列a n1 _an；递减数列a n1 _an；常数列a n1 _an.递增数列与递减数列统称为_3数列前 n 项和 Sn 与 an 的关系已知 Sn

3、，则 an _（n 1），_（n 2）.)4常见数列的通项(1)1，2，3，4，的一个通项公式为 an_；(2)2，4，6，8，的一个通项公式为 an_；(3)3，5，7，9，的一个通项公式为 an_；(4)2，4，8，16，的一个通项公式为 an_ ；(5)1，1，1，1，的一个通项公式为 an_ ；(6)1，0，1，0，的一个通项公式为 anError!；(7)a，b，a，b，的一个通项公式为 anError!；(8)9，99，999，的一个通项公式为 anError!.注：据此，很易获得数列 1，11，111，；2，22，222，；8，88，888，的通项公式分别为(10n 1)， (1

4、0n1)， (10n1)19 29 89自查自纠1(1)项 首项 a 1，a 2，a 3，a n，(2)第 n 项 n (3) 函数值 (4)a n a n1(5)通项公式法(解析式法) 列表法 图象法 递推公式法2(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列摆动数列 常数列 单调数列3S 1 S nS n14(1)n (2)2n (3)2 n1 (4)2 n (5)(1) n(6)1 （ 1）n 12(7)（a b） （ 1）n 1（a b）2(8)10n1基础自测数列 1， ，的一个通项公式 an( )23354759A. B. C. D.n2n 1 n2n 1 n2n 3 n2n

5、3解：由已知得，数列可写成 ，故通项为 .故选 B.112335 n2n 1(教材改编题)若数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n 21，则 a1a 3( )A10 B11 C17 D18解：a 1S 1211，a 3S 3S 223 222 210，所以 a1a 311.故选 B.在数列a n中，a 11，a n1 (n2)，则 a5( )（ 1）nan 1A. B. C. D.32 53 85 23解：a 21 2，a 31 ，a 41 3，a 51 .故选 D.1a1 1a2 12 1a3 1a4 23(2015黄冈联考)若数列a n的前 n 项和 Sn an ，则a n的通项公

6、式是 an_.23 13解：由 Sn an 得：当 n2 时，S n1 an1 ，所以当 n2 时，a nS nS n1 ，所以 an2a n1 ，23 13 23 13又 n1 时，S 1a 1 a1 ，所以 a11，所以 an(2) n1 .故填(2) n1 .23 13在各项均为正数的数列 an中，对任意 m，nN *，都有 amn a man.若 a664，则 a9_.解：由题意，a 6a 3a364，a 38.所以 a9a 6a3648512.故填 512.类型一 数列的通项公式 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，； (2) ， ， ， ，

7、，；234156358631099(3) ，2，8， ，； (4)5，55，555，5 555， (5)1， ， ，.12 92 252 32 1334 1536解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用( 1) n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an(1) n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积故数列的一个通项公式为 an .2n（2n 1）（2n 1）(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即

8、 ， ， ，124292162 252故数列的一个通项公式为 an .n22(4)将原数列改写为 9， 99， 999，易知数列 9，99，999，的通项为 10n1，故数列的一个59 59 59通项公式为 an (10n1)59(5) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式( 1) n；各项绝对值的分母组成数列 1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 21，偶数项为 21，所以an( 1)n .2 （ 1）nn也可写为 an 1n，n为 正 奇 数 ，3n，n为 正 偶 数 . )【点拨】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑

9、：(1)熟悉一些常见数列的通项公式，如 n，2 n，(1) n，2 n，n 2，2n1等(2)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系(3)若第 n 项和第 n1 项正负交错，那么用符号 (1) n 或(1) n1 来适配(4)对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和” “差” “积” “商”后再进行归纳(5)注意通项公式的形式不一定是惟一的，如数列 1，0， 1，0，的通项公式可写成 an 或1 （ 1）n 12an ，甚至分段形式 an 等|sinn2| 1，n是 奇 数 ，0，n是 偶 数 )写出下

10、列数列的一个通项公式：(1)1， ， ，；(2)3，5，9，17，33，；12 1314 15(3)0.8，0.88，0.888，；(4) ，1， ， ， ，. (5)1，0，0，0，0，23 107 1792611 13 15 17解：(1)a n( 1)n ；1n(2)an2 n1；(3)将数列变形为 (10.1)， (10.01) ， (10.001) ，所以 an .89 89 89 89(1 110n)(4)由于1 ，故分母为 3，5，7，9，11，即 2n 1， 分 子 为 2， 5， 10， 17， 26， ， 即55n2 1 符 号 看 作 各 项 依 次 乘 1， 1， 1，

11、 1， ， 即 ( 1)n1 ，故 an( 1) n1 .n2 12n 1(5)把数列改写成 ，分母依次为 1， 2，3，而分子 1，0，1，0，周期性出现，1102130415061708因此数列的通项可表示为 an .1 （ 1）n 12n类型二 由前 n 项和公式求通项公式(1)若数列a n的前 n 项和 Snn 210n，则此数列的通项公式为 an_(2)若数列a n的前 n 项和 Sn2 n1，则此数列的通项公式为 anError!解：(1)当 n1 时，a 1S 11109；当 n2 时，anS nS n1 n 210n(n1) 210(n1)2n11.当 n1 时，21119a

12、1.所以 an2n11.故填 2n11.(2)当 n1 时，a 1S 12 113；当 n2 时，an Sn Sn 1 (2n 1) (2n 1 1) 2n 2n 1 2n 1.综上有 an 故填3（n 1），2n 1（n 2）.) 3（n 1），2n 1（n 2）.)【点拨】任何一个数列，它的前 n 项和 Sn 与通项 an 都存在关系：a n 若 a1 适合S1（n 1），Sn Sn 1（n 2）.)SnS n1 ，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示另外一种快速判断技巧是利用 S0 是否为 0 来判断：若 S00，则 a1 适合 SnS n1 ，否则不符合，这在解小题时比较有用(1)

13、已知下列数列a n的前 n 项和 Sn，分别求它们的通项公式 an.()S n2n 23n；()S n3 nb.解：() a1S 1231，当 n2 时，a nS nS n1 (2n23n)2( n1) 23(n1) 4n5，a1 也适合此等式，所以 an4n5.()a 1S 13b，当 n2 时，a nS nS n1(3 nb) (3 n1 b)23 n1 .当 b1 时，a 1 适合此等式当 b1 时，a 1 不适合此等式所以当 b1 时，a n23 n 1；当 b1 时，a n 3 b， n 1，23n 1，n 2.)(2)已知数列a n的首项 a12，其前 n 项和为 Sn.若 Sn1

14、 2S n1，则 an_.解：由 Sn1 2S n1，有 Sn2S n1 1(n2) ，两式相减得 an1 2a n，又 S2a 1a 22a 11，a 23，所以数列a n从第二项开始成等比数列，所以 an 2，n 1，32n 2，n 2.)类型三 由递推公式求通项公式写出下面各数列 an的通项公式(1)a12，a n1 a nn1；(2)a11，a n1 an；n 2n(3)a11，a n1 3a n2.解：(1)由题意得，当 n2 时，a na n1 n，所以 ana 1(a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 )2(23n)2（n 1）（2 n）2 1.n（n 1）2又 a12

15、 1，适合上式，1（1 1）2因此 an 1.n（n 1）2(2)由题设知 an0，则 ，an 1an n 2n ，a2a1 a3a2 a4a3 an 1an 31 42 53 n 2n ，an 1a1 （n 1）（n 2）2又 a11，则 an1 ，故 an .（n 1）（n 2）2 n（n 1）2(3)解法一：(累乘法 )an1 3a n2，得 an1 13(a n1) ，即 3，an 1 1an 1所以 3， 3， 3， 3.a2 1a1 1 a3 1a2 1 a4 1a3 1 an 1 1an 1将这些等式两边分别相乘得 3 n.an 1 1a1 1因为 a11，所以 3 n，an 1

16、 11 1即 an1 23 n1(n1)，所以 an23 n1 1(n2)，又 a11 也适合上式，故数列a n的一个通项公式为 an23 n1 1.解法二：(迭代法)an1 3a n2，即 an1 13(a n1)3 2(an1 1) 3 3(an2 1)3 n(a11)23 n(n1) ，所以 an23 n1 1(n2)，又 a11 也满足上式，故数列a n的一个通项公式为 an23 n1 1.【点拨】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现 ana n1 m时，构造等差数列；当出现 anxa n1 y 时，构造等比数列；当出现 ana n1 f(n) 时，一

17、般用累加法求通项；当出现 f(n)时，一般用累乘法求通项还须注意检验 n1 时，是否适合所求anan 1写出下面各递推公式表示的数列 an的通项公式(1)a12，a n1 a n ；1n（n 1）(2)a11，a n1 2 nan；(3)a11，a n1 2a n1.解：(1)因为当 n2 时，a na n1 ，1n（n 1） 1n 1 1n所以当 n2 时，a n(a na n1 )(a n1 a n2 )(a 2a 1)a 1 ( )(1n 1 1n) ( 1n 2 1n 1) 12 13 2 3 .(1 12) 1n当 n1 时，适合故 an3 .1n(2)因为 2 n，所以 2 1，

18、2 2， 2 n1 ，an 1an a2a1 a3a2 anan 1将这 n1 个等式叠乘，得 2 12(n1) 2 ，所以 an2 .ana1 n（n 1）2 n（n 1）2 当 n1 时，适合故 an2 .n（n 1）2 (3)由题意知 an1 12(a n 1)，所以数列a n1 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an12 n，所以 an2 n1.类型四 数列通项的性质已知数列a n中，a n1 (nN *，aR，且 a0) 1a 2（n 1）(1)若 a7，求数列a n中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的 nN *，都有 ana 6 成立，求 a 的取值范围解：(1)因

19、为 a7，所以 an1 .12n 9结合函数 f(x)1 的单调性，12x 9可知 1a1a2a3a4，a 5a6a7an1(nN *)所以数列a n中的最大项为 a52，最小项为 a40.(2)an1 1 .1a 2（n 1）12n 2 a2因为对任意的 nN *，都有 ana 6 成立，结合函数 f(x)1 的单调性，知 5f（2），)解得 a .故选 C.a2（a 2），) 74点拨1已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用( 1) n 或(1) n1 来调节(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决(3

20、)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律) 、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列) 等方法来解决2a n 注意 anS nS n1 的条件是 n2，还须验证 a1 是否符合 an(n2)，是则合S1（n 1），Sn Sn 1（n 2）， )并，否则写成分段形式3已知递推关系求通项掌握先由 a1 和递推关系求出前几项，再归纳、猜想 an 的方法，以及“累加法” “累乘法”等(1)已知 a1 且 ana n1 f (n)，可以用 “累加法”得：ana 1f(2)f(3) f(n 1

21、)f (n)(2)已知 a1 且 f (n)，可以用 “累乘法”得：anan 1ana 1f(2)f(3)f(n1)f(n)注：以上两式均要求f(n) 易求和或积4数列的简单性质(1)单调性：若 an1 a n，则 an为递增数列；若 an1 a n，则a n为递减数列(2)周期性：若 ank a n(nN *，k 为非零正整数) ，则a n为周期数列，k 为a n的一个周期(3)最大值与最小值：若 则 an 最大；若 则 an 最小an an 1，an an 1， ) an an 1，an an 1， )课时作业1数列 0，的一个通项公式为( )234567Aa n (nN *) Ba n

22、(nN *)Ca n (nN *) Da n (nN *)n 1n 1 n 12n 1 2（n 1）2n 1 2n2n 1解法一：特例淘汰法令 n1，淘汰 D 选项，令 n2 淘汰 A，B 选项解法二：数列变形为 ，分子、分母都是等差数列，分子 2(n1) 分母 2n1.故选 C.012345672已知数列a n的前 n 项和 Snn 22n，则 a2a 18( )A36 B35 C34 D33解：当 n2 时，a nS nS n1 2n3；当 n1 时，a 1S 11，所以 an2n3(nN *)，所以a2a 1834.故选 C.3数列a n满足 ana n1 (nN *)，a 22，S n

23、 是数列a n的前 n 项和，则 S21 为( )12A5 B. C. D.72 92 132解：因为 ana n1 ，a 22，12所以 an 32，n为 奇 数 ，2，n为 偶 数 . )所以 S2111 102 .故选 B.( 32) 724(2016广东 3 月测试)设 Sn 为数列a n的前 n 项和，且 Sn (an1)(nN *)，则 an( )32A3(3 n2 n) B3 n2 C3 n D32 n1解：当 n1 时，a 13；当 n2 时，a nS nS n1 (an1) (an1 1) ，32 32得到 an3a n1 ，所以 an3 n.故选 C.5数列a n满足 an

24、1 若 a1 ，则 a2 019 等于( )2an， 0 anan，求实数 k 的取值范围解：(1)由 n25n4an 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 ann 2kn4，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 nN *，所以 3.k232所以实数 k 的取值范围为( 3，) 11S n 为数列a n的前 n 项和，已知 an0，a 2a n4S n3.2n(1)求a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和1anan 1解：(1)由 a 2a n4S n3，2n可知 a 2a n1 4S n1 3.2n 1可得 a a 2(a n1 a n)4a n1 ，即2n 1

25、2n2(an1 a n)a a ( an1 a n)(an1 a n)2n 1 2n由于 an0，可得 an1 a n2.又 a 2a 14a 13，解得 a11(舍去) 或 a13.21所以a n是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1.(2)由 an2n1 可知bn .1anan 1 1（2n 1）（2n 3） 12( 12n 1 12n 3)设数列b n的前 n 项和为 Tn，则Tnb 1b 2b n .12(13 15) (15 17) ( 12n 1 12n 3) n3（2n 3）设数列a n的前 n 项和为 Sn.已知 a1a( a3)，a n1 S n3 n，nN *.(1)设 bnS n3 n，求数列b n的通项公式；(2)若 an1 a n，nN *，求 a 的取值范围解：(1)依题意，S n1 S na n1 S n3 n，即 Sn1 2S n3 n，由此得 Sn1 3 n1 2(S n3 n)，又 S13 1a3(a3)，故数列S n3 n是首项为 a3，公比为 2 的等比数列，因此，所求通项公式为 bnS n3 n(a3)2 n1 ，nN *.