高一数学知识点与题型完整归纳总结.doc

1、 集合及集合的应用【课标解读】1. 掌握集合的有关基本定义概念，运用集合的概念解决问题；2. 掌握集合的包含关系（子集、真子集） ；3. 掌握集合的运算(交、并、补 )；4. 在解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形结合、补集思想、分类讨论）的运用.【知识梳理】一、集合的有关概念(一) 集合的含义(二) 集合中元素的三个特性1.元素的确定性：如：世界上最高的山，反例：世界上很高的山；2.元素的互异性：如：由“HAPPY”的字母组成的集合H,A,P,Y；3.元素的无序性： 如：a,b, c和a,c,b是表示同一个集合 .(三) 集合的表示集合的表示方法：列举法与描述法.常用数集及其记法：非

2、负整数集（即自然数集） 记作：N，正整数集： N*或 N+ ，整数集：Z，有理数集 Q， 实数集 R.1列举法：a,b,c, 2 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.如：xR| x-32,x|x-32.3语言描述法：如：不是直角三角形的三角形 .4.Venn 图.(四) 集合的分类1.有限集: 含有有限个元素的集合 ;2.无限集: 含有无限个元素的集合 ;3.空集: 不含任何元素的集合 ;如：x|x 2=-5.二、集合间的基本关系21. “包含”关系子集注意： BA有两种可能：（1）A 是 B 的一部分；（2）A 与 B 是同一集合.反之: 集合 A 不包含于

3、集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 B A.2. “相等”关系：A =B (55，且 55，则 5=5).实例：设 A=x|x2-1=0， B=-1,1. 则 A=B.元素相同则两集合相等,即： 任何一个集合是它本身的子集：AA；真子集:如果 AB,且 A B,那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A).如果 AB, BC ,那么 AC. 如果 AB , 同时 BA ,那么 A=B.3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 含有 n 个元素的集合，有 2n 个子集， 个真子集.21n三、集合的运算

4、运算类型 交 集 并 集 补 集定义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作AB（读作“ A 交B”） ，即 A B=x| xA，且 x B 由所有属于集合 A或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集记作：AB（读作“ A并 B”） ，即 A B =x|xA，或x B设 S 是一个集合，A 是 S的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 SA，即SA= ,|x且 .韦恩图示SA3性质AA=A A =A B=B AA BAAB BAA=AA =AA B=B AA B AB B(UA)( UB

5、)= U(AB)(UA) ( UB)= U(A B)A (UA)=UA (UA)= 【方法归纳】一、对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集） ，然后再确定处理此类问题的方法.二、关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.三、含参数的集合问题，多根据集合的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.四、处理集合问题要多从已知出发，多从特殊点出发来寻找突破口.课堂精讲练习题考点一：集合的概念与表示1. 集合 A 中的元素由 x=a+b 2(aZ,bZ)组成，判断下列元素与集合 A 的关系.（1）0； （2） 1 ； （3） 12.【解题

6、思路】：（1）因为 20，所以 A；（2）因为 1，所以 1；（3）因为 32,.32AZ难度分级:B 类2. 已知集合 A=y|y=x-1，xR ，B=(x ,y)|y=x2-1，xR ，C =x|y=x+1，y3，求 ()ACB.【解题思路】：A=y|y=x-1，x R=R 是数集，B=(x,y )|y=x2-1，xR是点集， C=x|y=x+1，y3=x|x2， ()C=.难度分级:A 类3. 已知集合 A=x|x2+4ax-4a+3=0， B=x|x2+(a-1)x+a2=0，C=x|x 2+2ax-2a=0，4其中至少有一个集合不是空集，求实数 a 的取值范围.【解题思路】：当三个集

7、合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解.方程都没有实数解，即 2122364(3)0)8a解此不等式组，得 31a所求实数 a 的取值范围为 a 2,或 a-1.难度分级:B 类考点二：集合中元素的特征4. 集合3，x，x 22x 中，x 应满足的条件是_.【解题思路】：x 1 且 x0 且 x3.难度分级：A 类5. 设集合 ,Py， 22,0Qyx，若 PQ，求 ,xy的值及集合 P、Q【解题思路】： 且 0， P（1）若 xy或 ，则 20xy，从而 2,0Qxy，与集合中元素的互异性矛盾， 且 xy；（2）若 0xy，则 或 当 时， ,Px，与集合中元素的互异性矛盾， 0y；当

8、x时， ,0y， 2,0Qy，由 Q得2 或由得 1y，由得 1y，5 01xy或 ，此时 1,0PQ难度分级:B 类6. 设 S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： 1S，若 aS，则 1Sa，请解答下列问题：（1）若 2S，则 S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若 ，则 .a1Sa（3）在集合 S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合 S 中至少有三个不同的元素.【解题思路】：（1）要求的两个数为 ；1,2（2 ） 若 ， ， .1,a则 Sa1,Sa若 则（3）集合 S 中的元素不能只有一个.证明：假设集合 S 中只有一个元素，则根据题意知 a= 1,此方程

9、无解，a 1a集合 S 中的元素不能只有一个.（4）证明：由（2）知， aS， 1， 现在证明 a， 1， a三个数互不相等.若 a= 1,此方程无解，a 1若 a= ，此方程无解，a a若 1= ，此方程无解， 1综上所述，集合 S 中至少有三个不同的元素.难度分级：C 类考点二：交集、并集、补集的含义及其运算7. (2010南京模拟)已知集合 Mx|y 2x 1 ，Px|y 22(x3) ，那么 MP .【解题思路】：由 M：xy 211，即 M x|x1，由 P：x y233，即 Px|x3，126所以 MPx|1x 3答案: x|1x3难度分级：A 类8.已知集合 A 中有 10 个元

10、素，集合 B 中有 6 个元素，全集 U 中有 18 个元素，且有 AB，设集合 U(AB)中有 x 个元素，则 x 的取值范围是_【解题思路】：因为当集合 AB 中仅有一个元素时，集合 U(AB) 中有 3 个元素，当 AB 中有 6个元素时， U(AB)中有 8 个元素，即 3x8 且 x 为整数答案:3x8 且 x 为整数.难度分级：B 类9.(2010盐城模拟)设全集 UR，Ax| 0， UA 1，n，则 m2n 2_.x 1x m【解题思路】：由 UA1 ，n，知 A(，1) (n，)，即不等式 0 的解集为x 1x m(， 1)(n，)，所以 n1，m 1，因此 m1，n1，所以

11、m2n 22. 难度分级：B 类10.若集合 2|0,xaxR，集合 ,2B，且 AB，求实数 a的取值范围【解题思路】：（1）若 A ，则 240a，解得 a；（2） 若 ，则 21，解得 ，此时 1，适合题意；（3）则 20a，解得 52a，此时 52,A，不合题意；综上所述，实数 的取值范围为 ,)难度分级：A 类11.写出阴影部分所表示的集合：图1BUACU BA图2【解题思路】：（1）B（ UA） (2)ABC.难度分级：B 级12.（2010 辽宁理）已知 A，B 均为集合 U=1,3,5,7,9的子集，且 AB=3,U BA=9,7则 A= .【解题思路】：因为 AB=3，所以

12、3A，又因为 U BA=9，所以 9A,所以 A=3,9.本题也可以用 Venn 图的方法帮助理解.难度分级：B 类13.设集合 A=x|x2+4x=0，xR，B=x| x2+2(a+1)x+a2-1=0，xR ，若 BA，求实数 a 的取值范围【解题思路】：A=x|x 2+4x=0，xR=0 ，-4, B A, B= 或0 ，-4，0，-4.当 B=时，=2(a+1) 2-4(a2-1)0，且满足(A B)C ，(AB)CR，求实数 b，c 的值【解题思路】：因为 Ax| 2x1 ，B x|13 或 x0 的解集为 x|x3 或 x0，C=x|x 2-4ax+3a20 时，C =（a，3a）

13、.8(1) 要使 ABC，结合数轴知， 023a解得 1a2；(2) 类似地，要使 U， 必有 42a解得 43a.难度分级：B 类【课堂训练】1. 若集合 ,cbaM中元素是 ABC 的三边长，则ABC 一定不是 三角形.【解题思路】：根据集合中元素的互异性，a、b 和 c 互不相等，所以 ABC 一定不是等腰三角形.答案：等腰难度分级：A 类2. 设集合 I=1，2，3，A I,若把集合 MA=I 的集合 M 叫做集合 A 的配集，则 A=1，2的配集有 个.【解题思路】：A 的配集中一定含有元素 3,余下两个元素 1，2 可以全不含、仅有一个、两个都有.答案：4难度分级：B 类3. 三个

14、元素的集合1，a， ，也可表示为0，a 2，a+b，求 a2011+ b2012 的值b【解题思路】：依题意得 0,则 b=0.所以 1, 则 .由互异性知 1.所以 a2011+ b2012=-1.难度分级：B 类4. 设 集合 A=5， log2（ a+3） ， 集 合 B=a， b.若 AB=2， 则 AB=_.【解题思路】：AB=2，log 2（a+3 ）=2.a=1.b=2.A=5，2，B=1，2.AB=1，2，5.答案：1，2，5.难度分级：A 类3.设 A=x|1x2，B=x |xa，若 A B，则 a 的取值范围是_.【解题思路】：A B 说明 A 是 B 的真子集，利用数轴（

15、如下图）可知 a1.9a 1 2答案：a1.难度分级：A 类5. (2010苏州模拟)已知全集 UR，Mx|y ，P x| ，yM ，x 1 12log则( U M)(U P)_.【解题思路】：M 是 y 的定义域，即 M x|x1， U Mx|x ，12log12 12( U M)(U P)x |x0 或 x112答案：x| x0 或 x112难度分级：A 类6.已知集合 A=x|x2-1=0 ，B =x|x2-2ax+b=0，AB=A，求 a，b 的值或 a,b 所满足的条件【解题思路】：A=x|x 2-1=0 =1，-1, AB=A， B A.当 B=时 , =4 a2-4b0,即 ;2

16、0当 B=-1时，a=-1，b=1;当 B=1 时，2a=1+1=2，即 a=b=1;当 B=-1，1时，B =A=-1，1 ，此时 a=0，b=-1.综上所述 a,b 满足的条件为：a 2-b0 或 a=-1，b=1 或 a=0，b=-1 或 a=-1，b=1.难度分级：B 类7.(2010扬州模拟)设 Ax |x2axa 2190，B x|x25x60，Cx|x 22x80(1)若 A BAB，求实数 a 的值；(2)若 AB，且 AC ，求实数 a 的值；(3)若 ABAC ，求实数 a 的值【解题思路】：(1)因为 ABAB，所以 AB，又因为 B2,3，则 a5 且 a2196 同时

17、成立，所以 a5.(2)因为 B2,3，C4,2，且 AB，A C ，则只有 3A，即 a23a100，即 a5 或 a2，由(1)可知，当 a5 时，AB2,3，此时 AC，与已知矛盾，所以 a5 舍去，故 a2.(3)因为 B2,3，C4,2，且 ABAC ，此时只有 2A，即 a22a150，得 a5 或 a3，10由(1)可知，当 a5 时不合题意，故 a3. 难度分级：B 类【课后检测】1. 已知集合 A=(x,y)|x2y 2y=4，B=(x,y )|x2xy2y 2=0，C=(x,y)|x2y=0，D =(x,y)|x+y=0.(1)判断 B、C、D 间的关系；(2)求 AB.【

18、解题思路】：（1）B=C D; （2）AB=( 34,8),(2, 1),(4，4).难度分级：B 类2. 已知全集 UA中有 m 个元素， ()U中有 n 个元素若 ABI非空，则AI的元素个数为 .【解题思路】： 因为 ()UUBAB，所以 A共有 m个元素.难度分级：A 类3. 已知数集 A=a2，a+1，-3，数集 B=a-3,a-2，a 2+1，若 AB=-3，求 a 的值【解题思路】：AB=-3， -3 A, -3B.当 a-3=-3,即 a= 0 时，B=-3，-2，1 ， A=0，1，-3不满足题意；当 a-2=-3,即 a=-1 时，B=-4，-3，2 ， A=1，0，-3满足题意.a =-1. 难度分级：A 类4. 已知集合 A=2，5，B= x|x2+px+q=0，xR .（1）若 B=5，求 p，q 的值（2）若 AB= B ，求实数 p，q 满足的条件【解题思路】：（1）AB=5 ，方程 x2+px+q=0 有两个相等的实根 5，5+5=-p,55=q, p=-10，q=25.（2） AB = B,B A.当 B=时，= p2-4q0，即 p24q；当 B=2时，可求得 p=-4，q=4；当 B=5时，p=-10，q=25；当 B=2，5时，可求得 p=-7，q=10；综上所述：实数 p，q 满足的条件为 p24q 或 4或 1025或 7q.