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线性方程组与矩阵秩的若干问题福建师范大学数计学院代数教研室 肖民卿2008年 10月引言矩阵秩的概念是由 J.Sylvester于 1861年引进的，它是矩阵的最重要数字特征之一。这里，我们结合 “ 矩阵与线性方程组 ” 的教学讨论以下内容：矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用；矩阵秩的 Sylvester不等式和 Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。一 .线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用m个方程 n个未知元的线性方程组一般表示为：线性方程组 (1)的矩阵表示为：其中，线性方程组有解的判定定理线性方程组 (1)有解的充分必要条件是这里， 表示矩阵 的秩。特别地，若 ，则线性方程组(1)有唯一解；若 ，则线性方程组(1)有无穷多解。利用上述定理，可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。 1. 直线与直线的位置关系设几何空间中两条直线的方程分别为这样， 与 的位置关系取决于线性方程组解的情况。记则有如下结论：（ i） 与 相交（ ii） 与 重合（ iii） 与 平行（ iv） 与 异面2. 直线与平面的位置关系设几何空间中直线和平面的方程分别为记则有如下结论：（ i） 与 相交（ ii） 在 上（ iii） 与 平行
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