数学分析3期末练习题三参考答案.doc

1、110 统计专业和数学专业数学分析（3）期末练习题三参考答案1. 试求极限 .42lim)0,(,xyyx解 (,)0, (,)0,lilim(24)xy xyxy(,),1xy. 2. 试求极限 .(cos1lim22)0,( yxyxe解 由2 222(,)0, (,)0,sin1cos(li lim)4()xy xyxy xyxee1. 3. 试求极限 .sin)(lim)0,( yxyx解 由于 (,)0, (,)0,111lisilimsinsin)xy xy yxx,又 ,2所以 (,)0,1limsinxyxy， (,)0,1lisin0xyxy, 所以 (,)0,li)sixy

2、xy. 4. 试讨论 .42),(,yx解 当点 沿直线 趋于原点时，2342400limlixxy.当点 沿抛物线线 趋于原点时， ),(yx2244001lili2yyx. 因为二者不等，所以极限不存在. 25. 试求极限 .11lim2)0,(, yxyx解 由 222(,)0, (,)0,)(1)li lixy xyyxyx=2(,),xy .6. , 有连续的偏导数，求 )(yfuf .,yux解 令 wxv则 ufvffxvwxyy7. 求,arctnxz,xe.dz解 由 21()yxx2(1)(xxee. 8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程。2yz)3,1M解 由于

3、4,xyz,在 处 ， )3,1(M)(z2)(所以, 切平面方程为 13z.即 4230xyz法线方程为 1. 9. 求 在 处的泰勒公式.56),(22yxyxyf )2,(解 由 001,()f()41,0x xf,23,2y yf ,()4xxff(,)1,yy,ff. 3得 2 2(,)5(1)()()fxyxy. 10. 求函数 的极值.),(22eyxf解 由于 22()()0xxe210yf解得驻点 ， ),1(2222(),),x xxyxfyef2(1,)0,(1,)0,(1,)x xy yABfCfe2CBA 所以 是极小值点, 极小值为 )1( .2,ef11. 叙述隐

4、函数的定义.答: 设 ， ，函数 对于方程 , 若存在集合RXY.:RYXF0),(yxF与 ，使得对于任何 ，恒有唯一确定的 ，使得 满足方程IJIxJ,则称由方程 确定了一个定义在 上，值域含于 的隐函数。一0),(yxF0),(yIJ般可记为 且成立恒等式)(xf.JI(,),.FxfxI12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.答: 若 满足下列条件:(,)Fxy（i）函数 F 在以 为内点的某一区域 上连续;0P),(yx2RD（ii） （通常称为初始条件）;),(y（iii）在 D 内存在连续的偏导数 ;yxF,（iv） 0,0,yxF则在点 的某邻域 内，方程 =0 唯一地确定了一

5、个定义在某区间0PU)(yx,内的函数（隐函数） ，使得,(x)(f1 , 时 且 ；0yf,(0x)(,0PUx0)(,xfF42 在 内连续.xf),(0x13. 叙述隐函数可微性定理的内容.答: 若 满足下列条件:(,)Fy（i）函数 F 在以 为内点的某一区域 上连续;0P),(yx2RD（ii） （通常称为初始条件）;),(y（iii）在 D 内存在连续的偏导数 ;yxF,（iv） 0,0,yxF又设在 D 内还存在连续的偏导数 ，则由方程 所确定的隐函数在),(yx0),(yx在其定义域 内有连续导函数，且)(xfy,(0x.),()(yxFf14. 利用隐函数说明反函数的存在性及

6、其导数.答: 设 在 的某邻域内有连续的导函数 ，且 ; 考虑方程)(xfy0 ()f0)(yxf.0),(xyx由于, , 0),(0yxF1yF00(,)(),xfx所以只要 ，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程0()f能确定出在 的某邻域 内的连续可微隐函数 ，并(,Fxyx0y)(0yU)(ygx称它为函数 的反函数.反函数的导数是)(f 1() .()yxFgffx15. 解: 显然 及 在平面上任一点都连续，由隐函数定理axyF3),(3y,知道，在使得 的点 附近，方程 都能确02y x033axyx定隐函数 ；所以，它的一阶与二阶导数如下：)(xf对方程求关于 的导数（其中

7、 是 的函数）并以 3 除之，得y5,20xyaxy或 （1）22.a于是 （2）2.yxa.02xy再对（1）式求导，得： 即 22()(),xa（3）2 .yxyx把（2）式代入（3）式的右边，得 3322() .)ayaax再利用方程就得到 32 .()yyax16. 解 : 由于 处处连续，根据隐函数定理zyz FF,01),0(,),0(18.3，在原点 附近能惟一确定连续可微得隐函数 ，且可求得它得偏导数, ),(xf如下： ,312xyzFxzzx.2yzy17. 解: (1)令 , 则有22(,)3Fxyzx.,23 xyzzFxy由于 均连续,且0(), yzP,00()1y

8、zP故在点 附近由上述方程能确定隐函数 和 .0(1,) ()yx(,)zy(2)当 时 , 由定理知yF6;23xxyFz同理, 当 时, 由定理知0zF.23xxzFyz于是求得 233123(,),(), x xxfyzfyzyz232132(,)(). x xxfyzfyzzz并且有, .(1,)1xfy(,1)2xfz18. 解: 首先， 即 满足初始条件. 再求出 F，G 的所有一阶偏导数,0)0pGPFP,2vuFxy.1, vx容易验算，在点 处的所有六个雅可比行列式中只有0P.014),(00 PvxPGFvxF因此，只有 难以肯定能否作为以 为自变量的隐函数. 除此之外，在

9、 的近旁, ,yu0P任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如果我们想求得 的偏导数，只需对方程组分别关于 求偏导),(),(vux vu,数，得到（1）,012uxy（2）.v由（1）解出7.2,21yxuyxu由（2）解出 22,.vvvyxxy19. 解: 设,22(,)1Fu.,Gxyvxy(1) 关于 的雅可比行列式是,FGvu,2(,)()1uvFv当 时, 在满足方程组的任何一点 的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定uv(,)xy是 的可微函数;,xy(2) 关于 的雅可比行列式是FG,2(,)()1xuFGyy当 时, 在满足方程组的任何一点 的一个邻域内, 由方

10、程组可以唯一确定xuy(,)v是 的可微函数.,v20. 解: 设 ， . 它们在 处的50),(22zyxzF 22),(zyxzyG)5 ,43(偏导数和雅可比行列式之值为：,6xF,8y,10zF,G,zG和， ， .160),(zyF(,)120Fzx0),(yxF所以曲线在 处的切线方程为：5 ,43(8，05124603zyx即 ()(),5. z法平面方程为，0)()4(3)(4zyx即.x21. 解: 令 , 则(,)zFye,(),(,)1 zxyzFxye故 , 因此曲面在点 处的法向量为0 001,2 xyzMM02,(1)n所求切平面方程为,(2)()0xy即.4法线方

11、程为 21,0xyz即 23,xyz22. 解: 这个问题实质上就是要求函数（空间点 到原点 的距离函数的平方）22),(zyxzyf(,)xy(0,)在条件 及 下的最大、 最小值问题. 应用拉格朗021z日乘数法，令.222(,) 1Lxyzxyxyzxyz对 求一阶偏导数，并令它们都等于 0，则有9.01,2,0zyxLxLzyx求得这方程组的解为 ,37,35与 （1）.2,1zyx（1 ）就是拉格朗日函数 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得 .由于),(zL所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集上连续，从而必存在最大值与最小值） ，故由1,),(2yxzxzy3,232

12、f所求得的两个值 ，正是该椭圆到原点的最长距离 与最短距离 .3595935923. 叙述含参量 的正常积分定义.x答: 用积分形式所定义的这两个函数（1）.,),()(dcbaxyfI与 , （2）)(xF通称为定义在 上含参量 的（正常）积分，或简称含参量积分.ba,（1）式的意义如下：设 是定义在矩形区域 上的二元函数。),(yxf dcbaR,当 取 上某定值时，函数 则是定义在 上以 y 为自变量的一元函数.倘若x, dc,这时 在 可积，则其积分值是 在 上取值的函数，记它为 ，就有)(yfdc, x)(xI.,dcbaxxI（2）式的意义如下：一般地，设 为定义在区域),(yxf

13、上的二元函数，其中 为定义在 上的xdyxG),()(, )(,xdcba,连续函数，若对于 上每一固定的 值， 作为 的函数在闭区间 上ba,x),(yf )(xdc10可积，则其积分值是 在 上取值的函数，记作 时，就有 xba, )(xF.),()()xdcyfF24. 叙述含参量 的正常积分的连续性定理的内容.答: 设二元函数 在区域),(fbxadyxcG),(上连续，其中 为 上的连续函数，则函数)(,dxcba,（6）)(,xdcyfF在 上连续.ba,25. 叙述含参量 的无穷限反常积分定义.x答: 设二元函数 定义在无界区域 上，若对),(yf (,),Rxyabcy于 上每

14、一固定的 值，反常积分ba,(1)(,)cfxyd都收敛, 则它的值是 在 上取值的函数, 当记这个函数为 时, 则有xba()Ix,()(,)cIfxyab称(1)式为定义在 上的含参量 的无穷限反常积分, 或简称 含参量反常积分.,26. 叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛性定义.x答: 若含参量反常积分 与函数 对任给的正数 ，总存(,)cfxyd()(,)cIxfyd在某一实数 使得当 时，对一切 ，都有,NNMba,)(),(cxIyf即,),(Mdf则称含参量反常积分 在 上一致收敛于 ，或简单地说含参量积分,cxyba,)(x在 上一致收敛.(,)cfxydba,27. 叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.