江苏高考数学试题含答案.doc

1、12014 年江苏高考学科王数学试题数学试题参考公式:圆柱的侧学科王面积公式:S 圆柱 =cl, 其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长.圆柱的体积公式:V 圆柱 =Sh,其中 S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知集合 2134A， ， ， ， 123B， ， ，则 AB 学科王 【答案】 ，2已知复数 2(5)zi(i 为虚数学科王单位)，则 z 的实部为 【答案】21v3右图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 【答案】5 学科王4从 126， ， ， 这 4 个数中一次随机地取 2 个数

2、，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 【答案】 35已知函数 cosyx与 in(2)0)yx ，它们的学科王图象学科王有一个横坐标为3的交点，则 的值是 【答案】学科王 66设抽测的树木的底部周长均在区间 8013， 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 株树木的底部周长小于 100 cm【答案】247在各项均为正数的等比数学科王列 na中，若 21， 8642aa，2则 6a的值是 【答案】48设甲学科王、乙两个圆柱的底面积分别为 12S， ，体积分别为 12V， ，若它们的侧面积相等，且 1294S，则 12V的值是 【答案】 39在平面直角坐标系 xOy 中

3、，直线 230xy被圆 22()(1)4xy截得的弦长为 【答案】 251 学科王 0已知函数 2()1fxm，若学科王对任意 1xm， ，都有 ()0fx成立，则实数m 的取值范围是 学科王 【答案】 02，11在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 2byax( ， 为常数)过点 (25)P， ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7230x平行，则 的值是 【答案】 312如图，在平行四边形 ABCD 中，已知学科王， 85ABD， ， 32CPABP， ，则ABD的值是 【答案】2213已知 ()fx是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 03)x， 时， 21()fx若函数 yfa在区

4、间 34， 上有 10 个零点( 互不相同) ，则实数 a 的取值范围是 【答案】 102，14若 ABC的内角满足 sinsiinABC，则 cos的最小值是 3【答案】 624二、解答题：本大题共6小题, 共计学科王90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明学学科王科王过程或演算步骤.15(本小题满分 14 分)已知 2， ， 5sin（1）求 sin4的值；（2）学科王求 co6的值【答案】本小题主要学科王考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力. 满分 14 分.（1） 5sin2， ， ， 2cos1i210insncosin(co

5、sin)44；（2） 223si2i i55， 143cocos2sin6661016(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥 PABC中， DEF， ， 分别为棱 PCAB， ， 的中点已知 6PAC， ， 8B， 5F（1）求证：直线 PA平面 DEF 学科王 ；（2）平面 BDE平面 ABC【答案】本小题主要考查直线与直线、学学科王科王直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.（学科王 1） DE， 为 PCA， 中点 DEPA PA平面 DEF，DE 平面 DEF PA平面 DEF（2） ， 为 ， 中点 132DEPA EF， 为 CB， 中点

6、 学科王 4FBC 222D 90，DE EF4 /DEPAC， ，学科王 DEA学科王 F学科王DE平面 ABCDE 平面 BDE， 平面 BDE平面 ABC17(本小学科王题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 12F， 分别是椭圆21(0)yxab的左、右学科王焦点，顶点 B 的坐标为 (0)b， ，连结 2B并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 1F（1）若点 C 的坐标为 413， ，且 2F，求椭圆的方程；（2）若 1FB，求椭圆离心率 e 的值【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运

7、算求解能力. 满分 14 分.（1） 413C， ， 2619ab 22BFbc， 22()， 21b椭圆方程学科王为21xy（2）设焦点 12(0)()()cCxy， ， ， ， ，学科王 AC， 关于 x 轴对称，学科王 A， 2BF， ， 三点共线， bycx，即 0cyb学科王 1， 1yx，即 2学科王联立方程组，解得22caby 22acbC，C 在椭圆上， 22221accbb，化简得 25c， 5a, 故离心学科王率为 5518(本小题满分 16 分)如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为

8、圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m经测量，点 A 位于点 O 学科王 正北方向 60 学科王 m 处，点 C 位于点 O 正东方向170m 处(OC 为河岸)， 4tan3B（1）求新桥 BC 的长；（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分 16 分.解法一：(1) 如图，以 O 为坐标原点，OC 学科王 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A(0, 60)，C (170

9、, 0)，直线 BC 的斜率 k BC=tanBCO= 43.又因为 ABBC ，所以直线 AB 的斜率 k AB= .设点 B 的坐标为(a,b)，则 k BC= 0,17bak AB= 603,4解得 a=80 学科王，b=120. 所以 BC= 22(08)(10)5.因此新桥 BC 的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0d60).由条件知，直线 BC 的方程为 4(170)3yx，即 43680xy由于圆 M 与直线 BC 相切，故点 M(0，d)到直线 BC 的距离是 r，即 |3680|5dr.因学科学科王学科王王为 O 和 A 到圆

10、M 上任意一点的距离均不少于 80 m,6所以 80(6)rd 即6803805()d 解得1035 故当 d=10 时, 803dr最大，即圆面积最大. 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图，延长 OA, CB 交于点 F.因为 tanBCO= 43.所以 sin FCO= 45，cosFCO= 35.因为 OA=6 学科王 0,OC=170，所以 OF=OC tanFCO= 680.CF= 850cosOCF,从而 3AFO.因为 OAOC，所以 cosAFB=sinFCO= 45，又因为 ABBC ，所以 BF=AF cosAFB= 0，从而 BC=C

11、F BF=150.因此新桥 BC 的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D，连接 MD，则 MDBC，且 MD 是圆 M 的半径，学科王并设 MD=r m，OM=d m(0d60).因为 OAOC，所以 sinCFO =学科王 cosFCO，故由(1)知，sinCFO = 3,6805rFOd学科王所以 68035dr.因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,所以 80(6)rd 即6803805()d 学科王解得 1035d 故学科王当 d=10 时, 35dr最大，即圆面积最大.所以当 OM = 10 学科王 m 时，圆形保护区的面积最

12、大.19(本小题满分 1 学科王 6 分)已知函数 ()exxf其中 e 是自然对数的底数（1 学科王）证明： (fx是 R上的偶函数；7（2）若关于 x 的学科王不等式 ()e1xmf 在 (0)， 上恒成立，求实数 m 的取值范围；（3）已知正数 a 满足：存学科王在 0)x， ，使得 3000()fxax成立试比较1ea与e1的大小，并证明你的结论【答案】本小题主要考查初等函数的基学科王本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想学科王 方法分析与解决问题的能力.满分 16 分.（1） xR， ()e()xff， ()fx是 R上的偶函数（2 学科王）学科王由题意， 1xxm ，即

13、 e1)exxxm (0)x， ， e0xx，即x对 (0， 恒成立令 e1xt，则 21t 对任意 (1)t， 恒成立 2 2()() 3tt t ，当且仅当 2t时等号成立 13m（3） ()exxf，当 1时 ()0fx， ()fx在 1)， 上单调增令学科王3)ha， (3ha 01x， ， 0x，学科王即 ()x在 (1)， 上单调减存在 0)， ，使得 3000fa，学科王 1(e2fa，即 1ee-1e111lnlnlne(e)lnaa设 ()elm，则 1() e2ama，学科王当 112a时， 0， 单调增；当 e时， ()， ()a单学科王调减8因此 ()ma至多有两个零点

14、，而 (1)e0m当 e时， ()0，e11aa；当 12ea学科王时， ()m，e11a；当 时， ()0，e11a20(本小题满分 16 学科王分)设数列 n的前 n 项和为 nS若对任意的正整数 n，总存在正整数m，使得 nmSa，则称 na是“H 数列” （1）若数列学科王 n的前 n 项和 2()nSN，证明： na是“H 数列” ；（2）设学科王 na是等差数列，其首项 1a，公差 0d若 n是“H 数列” ，求 d 的值；（3）证明：对任意的等差数列 n，总存在两个“H 数列” nb和 nc，使得()nnabcN成立【答案】本小题主要考查数列的概念、等学科王差数列等基础知识，考查

15、探究能力及推理论证能力, 满分 16 分.（1）当 2n 时学科王，11122nnnnnnaS当 时， 112 n时， 1Sa，当 n 时， 1nnSa na是“H 数列”（2） 1()(1)22n dd对 N， m使 nmSa，即 (1)(1)2ndmd取 n得 1()d， 1d 0， 2，又 N， ， 1（3）设 na的 学科王公差为 d9令 111()(2)nbaana，对 N， 1 1nnba1ncd，对 ， 11nncad学科王则 1()n nbaa，且 nb， 为等差数列n的前 n 项和 11()2nTa，学科王令 1(2)nTma，则 (3)2n当学科王时 m；当 2时 ；当 3

16、n 时，由于 n 与 3奇偶性不同，即 (3)n非负偶数， N因此对 ，都可学科王找到 mN，使 nmTb成立，即 nb为“H 数列” nc的前项和 1()2nRad，令 1()n mcadR，则 (1)2n对 ， 是非负偶数， 即对 nN，都可找到 mN，使得 nmRc成立，即 nc为“H 数列”因此命题得证.数学(附加题)21.【选做题】本题包括 A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分)如图，AB 是圆 O 的直径， C、 D

17、是圆 O 上位于 AB 异侧的两点证明:OCB=D.本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分 10 分.证明：因为 B, C 是圆 O 上的两点，所以 OB=OC.故OCB=B.学科王又因为 C, D 是圆 O 上位于学科王 AB 异侧的两点，故B，D 为同弧所对的两个圆周角，所以B=D.10学科王 因此OCB=D.B.【选修 4-2:矩阵与变换】(本小题满分 10 分)已知矩阵 12xA， 1B，向量 2y， x， 为实数，若 A=B，求xy，的值【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.2yxA， 24yB，由 A=B得 24yx， 解得 14

18、2xy，C.【选修 4-4:学科王坐标系与参数方程 】( 本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为12xty，(t 为参数)，直线 l 与抛物线 24yx交于 AB， 两点，求线段 AB 的长【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.直线 l： 3xy代入抛物线方程 24yx并整理得 2109x交点 (12)A， ， (96)B， ，故 |8ABD.【选修 4-5:不等式选讲】(本小题满分 10 分)已知 x0, y0,证明：(1+x +y2)( 1+x2+y)9xy.本小题主要考查算术一几何平均不

19、等式.考查推理论证能力.满分 10 分.证明：因为 x0, y0, 所以 1+x+y2 230，1+x 2+y 230，所以(1+x+y 2)( 1+x2+y) 3=9xy.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演学科王算步骤.22(本小题满分 10 分)盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同（1 学科王）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 123x， ， ，随机