1991—2015年全国初中数学联赛试题附答案.doc

1、1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇1991 年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A） 、 （B） （C） 、 （D）四个答案结论，其中只有一个是正确的请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 设等式 在实数范围内成立，其中 a， x， yyaxayxa)()(是两两不同的实数，则 的值是223（A）3 ； （B） ； （C）2； （D） 135答（ ） 如图， ABEFCD ，已知 AB=20， CD=80， BC=100，那么 EF 的值是（A） 10； （B）12；（C） 16； （D）18答（ ） 方程 的解是012x（A） ；

2、 （B） ；51251（C） 或 ； （D） 2答（ ） 已知： （n 是自然数） 那么 ，的值是)19(nx nx)1(2（） ； （） ；19 19（） ； （） )(n )(n答（ ） 若 ，其中 为自然数，n 为使得等式成立的最大的自Mn1209321然数，则 （）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）不能被整除，也不能被整除1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇答（ ） 若 a， c， d 是整数， b 是正整数，且满足 ， ， ，那么cbadac的最大值是b（） ；（） ；（） ；（）150答（ ） 如图，正方形 OPQR 内接

3、于 ABC已知 AOR、 BOP 和 CRQ 的面积分别是， 和 ，那么，正方形 OPQR 的边长是1S321S（） ；（） ；（）2 ；（）3答（ ） 在锐角 ABC 中， ， ， ， ABC 的外接圆半径 1，则1ACcB60AR（） 2； （D） c = 2答（ ）二、填空题 是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点， AE 交对角线 BD 于 G，如果 BEG 的面积是，则平行四边形 ABCD 的面积是 已知关于 x 的一元二次方程 没有实数解甲由于看错了二次项系02cbxa数，误求得两根为和；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，那么， acb323设 m， n， p， q

4、 为非负数，且对一切 x ， 恒成立，则qpnmxx)1()1(22)(四边形 ABCD 中， ABC ， BCD ， AB ， BC ，135120635CD = 6，则 AD = 第二试1S=1332201351991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇x + y， x y， x y， 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（ x , y） 二、 ABC 中， AB AC BC， D 点在 BC 上， E 点在 BA 的延长线上，且BD BE AC， BDE 的外接圆与 ABC 的外接圆交于 F 点（如图） 求证： BF AF CF三、将正方形 ABCD 分割为 个相等的

5、小方格（ n 是自然数） ，把相对的顶点 A， C 染成红2n色，把 B， D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数1992 年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇本题共有 8 个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足 的非负整数 的个数是1ab),(ba(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若 是一元二次方程 的根,则判别式 与平方式0x )0(2cx acb42的关系是2)

6、(baM(A) (B) = (C) ; (D)不确定.M3.若 ,则 的个位数字是0132x4x(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为 1 的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于 1 且小于 ,则这个多边形的2边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数 的图像与反比例函)0(axy和 数的图像分别相交于 A 点和 C 点.若 和0kxy AOBRt的面积COD分别为 S1 和 S2,则 S1 与 S2 的关系是(A) (B) 21(C) (D)不确定21答( )6.在一个由 个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为

7、4 的圆,若把圆8周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分1S的面积之和记为 ,则 的整数部分是2S1(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB/CD, AB=2CD, ,又60AE 是底边 AB 上一点,且 FE=FB=AC, FA=AB.则 AE:EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设 均为正整数,且9321,xx1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇, ,则当 的值最大时, 的最小921xx 20921x54321xx19x值是(A)8; (B)9;

8、 (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的中线等 15cm,则这个等腰三角形的面积等于_.2.若 ,则 的最大值是_.0xx442113.在 中, 的平分线相交于 点，又 于 点，若ABCBA和,90 PABE，则 .3,2E4.若 都是正实数，且 ，则 .ba01ba3)(ba第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 的两根，当这样的三角形062ax只有一个时，求 的取值范围 .a二、如图，在 中， 是底边 上一点， 是线段 上一点，且ABCDA,BCEAD.EDB2求证： .三、某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0，

9、1，2，3，5，6 这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651 B：105263C：612305 D：316250已知编码 A、B、C 、D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同.D 恰有三个数字的位置与 M 和 N 相同.试求：M 和 N.1993 年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式 除以 的余式是1612x21991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇(A)1; (B)-1; (C) ; (D) ;1x1x

10、2.对于命题.内角相等的圆内接五边形是正五边形.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A),都对 (B)对,错 (C)错,对. (D ),都错.3.设 是实数 , .下列四个结论:x1xy. 没有最小值;y.只有一个 使 取到最小值;.有有限多个 (不止一个 )使 取到最大值;xy.有无穷多个 使 取到最小值.y其中正确的是(A) (B) (C) (D )4.实数 满足方程组54321,xx.;52154433221axa其中 是实常数,且 ,则 的大小顺序是43, 54321aa54321,xx(A) ; (B) ;521xx 52x(C) ; (D) .243 2413

11、5x5.不等式 的整数解的个解73)1(xx(A)等于 4 (B)小于 4 (C)大于 5 (D)等于 56.在 中, ,CBAOA,是 垂 心是 钝 角则 的值是)cos(O(A) (B)22(C) (D) .3 11991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇答( )7.锐角三角 ABC 的三边是 a, b, c,它的外心到三边的距离分 别为 m, n, p,那么 m:n:p 等于(A) ; (B)cba1:(C) (D) .CBAos:os CBAsinsi答( )8. 可以化简成133)924(A) ; (B) (C) (D)( )2(3123123答( )二.填空题1.当 x 变化时

12、 ,分式 的最小值是_.156321x2.放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 个小球,且每四个相邻的盒里共有 30 个小球,那么最右面的盒里有_个小球.3.若方程 有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,kx)4(12则 =_.k4.锐角三角形 ABC 中, .以 BC 边为直径作圆,与 AB, 30A AC 分别交于 D, E,连接 DE, 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 与四边形BDEC,设它们的面积分别为 S1, S2,则 S1:S2=_.第二试一.设 H 是等腰三角形 ABC 垂心,在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 B

13、C 的距离变小,这时乘积 的值变小,变大,还是不变?证明你HBCAS 的结论.二. 中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边 AB ,AC 上分别取BC 点 D, E, 使线段 DE 将 分成面积相等的两部分.试求这样的线段 DE 的最小长度.三.已知方程 分别各有两个整数根 及 ,且0022 bcxcbx及 21,x21.,021x21(1)求证: ;,21xx1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇(2)求证: ;1bc(3)求 所有可能的值 .,1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午 8：309：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分

14、48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内） ，一律得0分.1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇答( )2设a,b,c是不全相等的任意实数，若 x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA都不小于0 B都不大于0C至少有一个小0于 D至少有一个大于0 答( )3如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边 AB上，且与其余三边BC，CD ，DA相切，若BC=2，DA=3 ，则AB的长A等于4

15、 B等于5C等于 6 D不能确定答( )A1 B-1 C2 2001 D-2 2001 答( )5若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A4对 B8对C12 对 D16对答( )答( )7设锐角三角形ABC 的三条高 AD，BE，CF 相交于H 。若BC=a,AC=b,AB=c,则AHAD+BH BE+CHCF的值是答( )A1001 B1001,3989C1001,1996 D1001,1996,3989 答( )二、填空题（本题满分32分，每小题8分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果.1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇3在ABC 中，

16、设AD 是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7 ，AB=8，则DE=_.4把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于_.第二试(4月3日上午 10：0011：30)考生注意：本试共三道大题，满分60分.一、 （本题满分20分）如图所示，在ABC 中， AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：ABC的外心 O与A,P,Q四点共圆。思路一：OCPOAQCPO=AQOOAPQ四点共圆（视角定理.）思路二： PAOQBOOPA=AQOOAPQ 四点共圆（视角定理.）连接 OB、OA。OBA=OAB=OACPAO=QBOPA=QB AO=BOPAOQBOOPA=AQO所以O与A，P,Q,四点同园二、 （本题满分20分）