固体物理学答案朱建国版.doc

1、固体物理学习题指导 固体物理学习题指导配合固体物理学（朱建国等编著） 使用2018 年 12 月 9 日固体物理学习题指导 第 1 章 晶体结构 .1第 2 章 晶体的结合 .12第 3 章 晶格振动和晶体的热学性质 .20第 4 章 晶体缺陷 .32第 5 章 金属电子论 .35固体物理学习题指导 0第 1 章 晶体结构1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以 Rf 和 Rb 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问 Rf/Rb 等于 多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原

2、子的距离相等，都设为 a：对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：R f= a2对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b= a3那么， = =fb23a61.2 晶面指数为（ 123）的晶面 ABC 是离原点 O 最近的晶面，OA、OB 和 OC 分别与基失a1，a 2 和 a3 重合，除 O 点外，OA，OB 和 OC 上是否有格点？若 ABC 面的指数为（234） ，情况又如何？答：晶面族（123）截 a1,a2,a3 分别为 1,2,3 等份，ABC 面是离原点 O 最近的晶面，OA 的长度等于 a1 的长度，OB 的长度等于 a2 长度的 1/2，OC 的长度等

3、于 a3 长度的 1/3，所以只有A 点是格点。若 ABC 面的指数为（234）的晶面族，则 A、B 和 C 都不是格点。1.3 二维布拉维点阵只有 5 种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴 ，夹角 ，如下表所示。b、 序号晶系基矢长度与夹角关系布拉维晶胞类型 所属点群1 斜方 任意 2,ba、 简单斜方（图中 1 所示） 1，22 正方 简单正方（图中 2 所示） 4，4mm3 六角 3,简单六角（图中 3 所示） 3，3m，6，6mm4 长方 2ba简单长方（图中 4 所示）有心长方（图中 5 所示）1mm，2mm1 简单斜方 2 简单正方 3 简单六角固体物理学

4、习题指导 14 简单长方 5 有心长方二维布拉维点阵1.4 在六方晶系中，晶面常用 4 个指数（hkil）来表示，如图所示，前 3 个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 120的共平面轴 a1，a 2，a 3 上的截距 a1/h，a 2/k，a 3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴 c 上的截距 c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil）表示：（001） （100） （010）(13)0()()答：证明设晶面族（hkil）的晶面间距为 d，晶面法线方向的单位矢量为 n。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面 ABC 在 a1、a 2、a 3 轴上的截

5、距分别为 a1/h，a 2/k，a 3/i，因此 (1)23oonhkdaiA由于 a3=（a 1+ a2）3()oonnAA把（1）式的关系代入，即得 ()idhk根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）（0001） ， ， ， ， （100）(13)2)(10)(321) ， （010） ， (10)031.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方： （2）体心立方： （3）面心立方： （4）六方密堆积： （5）金刚石：682626。31答：令 Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱

6、上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有：固体物理学习题指导 211248ifecZNN边长为 a 的立方晶胞中堆积比率为 3*rF假设硬球的半径都为 r，占据的最大面积与总体积之比为 ，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为 2r，那么：= = 34/(2)r6（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为 4r，则其边长为 ，那么：43r= = 3(4/)r8（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为 4r，则其边长为 r，那么：2= = 34(/)2r26（4）对于六方密堆积一个晶胞有两个原子，其坐标为（000） （1/3 ，2/3 ，1/2

7、） ，在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为 a=2r，因此= =32()rac6（5）对于金刚石结构Z=8 那么 = .38r334*8()rFZa161.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以 nm 为单位）a=3i ，b=3j，c=1.5（i+j+k） ，此处 i，j，k 为笛卡儿坐标系中 x，y，z 方向的单位失量 .问：（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：（1）因为 a=3i，b=3j，而 c=1.5（i+j+k ）=1/2 （3i+3j+3k）=1/2 （a+b+c）式中c=3c。显然， a、b、c构成一个边长

8、为 3*10-10m 的立方晶胞，基矢 c 正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。（2）晶胞的体积= = =27*10-30(m3)()A3k(ij)固体物理学习题指导 3原胞的体积= = =13.5*10-30(m3)c(ab)A1(3)(3)2ijkijA1.7 六方晶胞的基失为： ， ，aij2abijck求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积 =a（b*c ）= 23ac那么，倒格子的基矢为 ， 1()b2ija2()cab23ija， 32()abkc其第一布里渊区如图所示：1.8 若基失 a，b，c 构

9、成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为 221()()hkldklabc答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl ）中距原点最近平面在三个晶轴 a1，a 2，a 3 上的截距分别为 ， ， 。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是1ah2k3l123ddnxyz这里 d 是原点到平面 ABC 的垂直距离，即面间距。由|n|=1 得到2213()()1hklaa故 2213()()ld1.9 用波长为 0.15405nm 的 X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角 如下序号 1 2 3 4 5/（） 19.611 28.136 35.156 41.156 47.769已知钽为

10、体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.固体物理学习题指导 4答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定： 222|1cos()sin()hklIFfnhklfhkl考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l ）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l ）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110） 、（200） 、 （211） 、 （220）和（310）的散射。由布喇格公式2sin(1)hkld得 10101.5402.95()i2si6om同法得 10202.3

11、4()sind10213.7()im10203.69()sind103104.()im应用立方晶系面间距公式 22hkladl可得晶格常数 hkla把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得 a 的数值*10 -10m 为3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值则得 103.275()am1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为 a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为 1i213aiaj固体物理学习题指导 5用正交关系式 02,ijijijbaA求出倒易点阵初基矢量 b1，b2。设11xyij2

12、2xyij由 baA01baA2得到下面四个方程式（1）1()2xyij（2）13()02xyaijbijA（3）2()xyij（4）213()xyaijbijA由（1）式可得： 1xa由（2）式可得： 123yb由（3）式可得： 20x由（4）式可得： 243yba于是得出倒易点阵基矢1bija2j补充习题：1.11 什么是晶体？什么是非晶体？试各举一例说明。答：晶体是原子、离子或分子按照一定的周期性，在结晶过程中，在空间排列形成具有一定规则的几何外形的固体，如铁；非晶体是其中的原子不按照一定空间顺序排列的固体，如玻璃。1.12 什么是原胞？什么是晶胞？答：原胞是具有 2 维、3 维或者其他

13、维度平移对称性的简单点阵结构的最小重复单元，晶胞是为了反映晶体的周期性和对称性而选取的重复单元。1.13 什么是布拉维原胞？什么是 WS 原胞？答：布拉维原胞就是晶胞，WS 原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以改点为中心的凸多面体即为该点的 WS 原胞。固体物理学习题指导 61.14 试计算面心立方和体心立方的堆垛因子答：设面心立方晶胞的边长为 a，则堆垛成面心立方晶胞的原子半径最大为 。由于面4/2a心立方体晶胞中有 个原子，所以面心立方的堆垛因子42168705.642343a设体心立方晶胞的边长为 a，则堆垛成体心立方晶胞的原子半径最大为

14、 。由于体心立4/3a方晶胞中有 个原子，所以体心立方的堆垛因子2186802.3433a1.15 绘出面心立方的晶胞和原胞示意图。答：面心立方的晶胞和原胞如下图所示，黑色-晶胞，蓝色- 原胞。1.16 试绘出二维正方晶格的 WS 原胞，设边长为 a。答：1.17 请列表给出简立方、体心立方、面心立方的最近邻（第一近邻）到第十近邻的原子数、原子间距。答：设简立方、体心立方、面心立方晶胞边长为 。简立方 体心立方 面心立方第 n 近邻 原子数 原子间距 原子数 原子间距 原子数 原子间距1 6 a8 2/3a12 2/a2 12 26 63 8 312 244 6 24 /1125 24 58

15、a324 /106 24 a6 28 a37 12 224 /92472 248 30 324 569 24 1024 a12 /10 24 a24 /324 a51.18 绘出金刚石结构的两个面心立方子晶格的套构情况。固体物理学习题指导 7答：金刚石结构是由两个面心立方格子沿体对角线位移 1/4 的长度套构而成。1.19 绘出立方晶胞里的晶向与晶面：213;0;312;10答：1.20 绘出六方晶胞里的晶向与晶面： ;答：1.21 按照 WS 原胞的构造法，如果 BCC 中一个原子的所有最近邻原子的连线的中垂面围成一个什么图形，体积为多少？如果 BCC 中一个原子的所有次近邻原子的连线的中垂

16、面又围成一个什么图形，体积为多少？答：原点和 8 个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的 6 个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的 14 面体八个面是正六边形, 六个面是正四边形。1.22 为什么晶体没有 5 次对称轴，而准晶体有 5 次对称轴？答：设在图中，是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB 是这晶列上相邻两个格点的距离。晶体中某一晶面的晶列（1）旋转角 ，通过 A 处的 u 轴顺时针方向转过 后，使 B1 点转到 B，若通过 B20处 u 轴逆时针方向转过 角后，A 1 点转到 A。经过转动后，要使晶格能自身重合，则 A、B点必须是格点，由于 A、 B和 AB 平行，AB 必须等于 AB 的整数倍，即