1、第三章 歐式股票選擇權的評價 Black and Scholes的模型 1財務工程 呂瑞秋著選擇權l 選擇權有兩種：買權與賣權 l 賣權也是一種買賣契約，其擁有者 (買入歐式股票賣權的人 )在未來該賣權到期時，有權利以契約上約定的履約價格來賣出標的股票予發行者 (賣出歐式股票賣權的人 ) l 買權的到期價值為 Max(S T -K, 0) l 賣權的到期價值為 Max(K-S T, 0)l S T：標的股票到期價格2財務工程 呂瑞秋著韋納過程 (Wiener process) l dwt = wt+dt-wt =(dt)1/2 dwt表示韋納過程在 t時經過 dt時間後的變化量或增量， 為服從
2、標準常態分配 (standard normal distribution)的隨機變數l 變化量或增量 dwt與 t時以前 (含 t時點 )的韋納過程是不相關 (馬可夫特性 )l wt 為平均數 (mean)w0且變異數 (variance)為 t的常態分配 3財務工程 呂瑞秋著一般化韋納過程 (generalized wiener process) l dxt = xt+dt-xt = dt +dwt l xt 的分配為平均數 x0+t，變異數為 2t的常態分配 4財務工程 呂瑞秋著幾何布朗運動 l dSt = St+dt-St = S t dt +S t dwt l St服從對數常態分配 (
3、lognormal distribution)l l 投資股票的平均報酬率與持有時間同步增加，而投資風險，若以標準差來衡量，與持有時間的平方根同步增加 5財務工程 呂瑞秋著伊藤過程 (Ito process) l dyt = yt+dt-yt = (y t ,t) dt +(y t ,t) dwtl 具有馬可夫特性 l 韋納過程、一般化韋納過程與幾何布朗運動其實都是伊藤過程的特例 l 伊藤過程也常被稱為擴散過程 (diffusion process) l 伊藤過程有一特性是，即使經某些特定條件下的函數轉換，仍然維持著伊藤過程的容貌。此即 Itos lemma 6財務工程 呂瑞秋著Itos le
4、mma l 若 yt是一個伊藤過程，其隨機微分式為：dyt = (y t ,t) dt +(y t ,t) dwt而且 F是 y t 與 t的可微分 (differentiable)的函數，則 F(y t ,t)也是一個伊藤過程，其隨機微分式為： 7財務工程 呂瑞秋著Itos lemma 的應用 l St服從幾何布朗運動 8財務工程 呂瑞秋著複製法 l 利用股票與買權 (兩種風險資產 )來合成銀行帳戶 (無風險資產 )以完成評價工作l 由買進一單位股票衍生性商品與賣出 單位的股票組合而成 l 組合的價值為 9財務工程 呂瑞秋著複製法 (Cont)l 又l 結合以上可導出著名的 Black-Scholes-Merton微分方程式 l 此微分方程式加上買權的邊界條件可解出著名的 Black-Scholes公式 l 複製法在文獻上也稱為 PDE法 10財務工程 呂瑞秋著
