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精选优质文档-倾情为你奉上第二章 基本定理 我们在第一章主要学习了初等积分法,掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型,很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年,法国数学家刘维尔(Liouville)证明了里卡蒂(Riccati)方程除了某些特殊的类型外,一般不能用初等积分法求解.例如,很简单的里卡蒂方程就不能用初等积分法求解.自然地,如果一个常微分方程不能用初等积分法求解,那么应该如何处理呢?是否存在解呢?如果存在解,它的解是否唯一呢?解的存在区间是什么呢?初值的微小误差对解有什么影响呢?这些问题在理论的研究和实际应用中,都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理,这些定理就回答了我们刚才的疑问,有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题,为我们使近似解法奠定理论基础,同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容,对进一步的学习奠定基础.2.1 解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程
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