第一章 函数、极限、连续(本科).doc

1、本科高数：第一章 函数、极限、连续2018-12-2 Page 1 of 171第一章 函数、极限、连续(本科)第一节 函数函数定义、定义域、值域、图形分段函数、反函数、隐函数、复合函数、基本初等函数、初等函数函数性质: 单调、奇偶、周期性21,3 ._e. 2)13(解 定 义 域xy),1.().,( ._lg.3解 定 义 域xy).,(.)( )0,1(._),log.32 定 义 域解 定 义 域则xaf af奇 函 数解 奇 偶 性判 断 .)1ln(.42xy xfxfx cos)(D1ln)(C)1B3A.5 2下 列 函 数 中 非 奇 非 偶 ._)()(,)(,)(.6

2、奇 偶 性 为则奇偶 gxfFgf )()()0( .00: ?,:.7 xfxffffyyfxf 解 奇 偶 性 如 何则满 足5.0,1)( .,.8nxnx表 达 式 及 图 形求最 近 奇 数 的 距 离到 离是本科高数：第一章 函数、极限、连续2018-12-2 Page 2 of 172xyo 211 2.1)( ._)(,|,0.9xf xf解 则 0,4)(,0,2)( ._(_,0)|)(.10 22xxfgxxgffxf解则 .12)( ).(,3).13xxf ff解 求第二节 极限一、数列极限、函数极限定义 )(lim)(li)(lim000 xfxfAxfx左 右 极

3、 限 .)(li,1)(li,.1002 xfxfxx解例二、无穷小、无穷大三、海因 Th. xx1sinlm.20证例 )(529?co.3 ， 习 题是 否 为 无 穷 大是 否 有 界例 Py本科高数：第一章 函数、极限、连续2018-12-2 Page 3 of 173第三节 极限性质和运算法则课前练习： ).23(,10)(lg),1()(.12 fafaxf 求且 )(.)( 1,1),. 偶 函 数的 奇 偶 性判 断 为 奇设 xFaaxff x1),1(e) ).(,0)(,ln)(l2(ln.322 xxf xffxff 求且满 足设一、极限性质1保号性2有界性3唯一性4极

4、限与无穷小关系二、无穷小运算性质Th:有限个无穷小代数和Th:有界函数乘以无穷小 xxxx 1arctnlim,sn1li,sinlm100 例 0)1ln()li,)(2xfZfx 奇 数 集例推论 1 常量乘以无穷小.推论 2 有限个无穷小之积.三、极限的运算法则 mmnnx bxbaa10li)(一本科高数：第一章 函数、极限、连续2018-12-2 Page 4 of 1742222(1)111.lim()limlilim()2n nnn 11li1li.22 xxxx2110()3()21.limli34xx二32222()2.lili =lim()=3xaxa xaaax 3321

5、1()1.limli 3)xxx)(三 234lim)3li.1 nnnn 2)(li)(lim.2 baxaxbxbaxx 11lim)1)(2lim)13(li.3 211 xxxx01 1)()()(li)(li .,0m.422baxbaxbaxxx故解 ， 求本科高数：第一章 函数、极限、连续2018-12-2 Page 5 of 17535)(lim)(lim,5)(4li:xf xfxfx xx解 求已 知另 21li)1(li.0) xxx四 22 2010.lim(0)limlim51x x x 同 除23li)( x无 穷 小 倒 数 为 无 穷 大五 )(lim)(li

6、,:00 afff uyuxx 处 连 续在有 极 限在复 合 函 数 求 极 限 .1)(lin)1l(im00xx例第四节 极限存在准则 两个重要极限课前练习: 20._,1)(lim.119ananxnx解 ， 则1, ,)(li.22babxx解 求2,1,.)(lim.3babaxxn解 求6, ,1)(li.42xx解 求本科高数：第一章 函数、极限、连续2018-12-2 Page 6 of 17651,2,).0(3lim.5akakkxx解 求1,0)(. )0(li)(.61xxf xf nn解求 一、夹挤准则(一)Th. )121lim.122 nnn 2222211 2

7、lilinn22limlinn22211lim( )nnn ).0(li. aban 2lili2=limnnnnn bba解 ，(二) 重要极限 2sinl,0sinlm:.1i 20 xxx注 00tai11.lilcosxx本科高数：第一章 函数、极限、连续2018-12-2 Page 7 of 17721sinlmcos1li.2020 xx000si3sin3lmsin313.lilin21ixxx.01sinlcolisnlimtasil.400020 xxxxxxI txxttx12sin35lim.562si5lli.12或二、 单调有界准则(一)Th2 )(236.0: .,

8、 .416),2(,0: 1121 舍或有 界 则设 对 某解 求 极 限例 aaxxxknxn kkkne)(lim,e)1(li)(0xxxx二()111.lim()lili()exxx x 35355312.li()li()()1=m=exxxx本科高数：第一章 函数、极限、连续2018-12-2 Page 8 of 178111(2) -20003.lim(2)li(lim()=exxxx x634=ex111 2000li()()e5.li()li =mxxxx x2116.lim()li()ennnnn1 12ln()l ln()l1(2)2ln()l7.li1l(imlimll=

9、ex xx xx x 312)(lim)2(li61)(lim2)3(li1.,:0000 xfxfufxfxxxxxx解 求已 知 作 代 换 计 算另第五节 无穷小比较课前练习：本科高数：第一章 函数、极限、连续2018-12-2 Page 9 of 1793._,e)1(lim.4 kkx解 21sintalimsinta2 030xx解 1,0,)()(),0(1li)(. xffxxfn 解求 8,126,)().(2,16,)(.4 31132 xxfxfxxf 解求一、无穷小比较定义: 高阶、低阶、同阶、等价 xnxxx nx 1)1ln(e 2costasi0 二、 等价无穷小

10、代换 Th3)1ln(im.20xx 75sin)1l(m.20xx1cos)l(i.30xx 2cos1eli.420xx21sinlm.50x xxsinelim.6i0axlli.70 e)1(li.82xn)31ln(lim.90x sitalim.103xx本科高数：第一章 函数、极限、连续2018-12-2 Page 10 of 17101cos1ln()30 002220001cosln()12cose3.limim=i3sln() 1=ilili36xxxx xxxx x三、无穷小主部和无穷小的阶专题分段函数求极限 )sgn(lim0,1,)sgn(.10xxx求 )(lim)( 11111 11lilim2n e)(li)2)(li )(li,2,)(. xgxg axxxx xxaffa ff faf ，所 以 ，解 使求 1)(li)(li0,1sin,e)(.3 001 xfxfxxfx 解求但 不 为不 存 在 ,elim.410x不 存 在xsinl.5 1elimeli1elimeli.6 22 xxxxxxxx因 为 不 存 在第六节 函数的连续性与间断点