高等数学基础例题讲解.doc

1、第 1 章 函数的极限与连续例 1求 0limx解：当 0x时， 000limlili1xxx，当 时，lilili()xx，由极限定义可知， x0li不存在（如图） 例 2求mxsnli（ 是非零常数） 解：令 umx，显然当 时 u，于是 x ilsilsinl 000例 3求 x)1(i解：令 2t，当 时，有 t，原式22)1(lim)1(li)1(limettxttx 例 4求xxli20解： 2 2001lili(1)x xx201li 2x例 5求axlim0解：令 tx1，则 log()at， 时 t，于是000liilimlnl1xt taa第 2 章 一元函数微分及其应用例

2、 1讨论函数 3)(xf在 处的可导性与连续性解： 32)(xf为初等函数，在其定义域,(上连续，所以在 0处连续又 ()(0)limhfff 320limh3201limh)(f不存在所以函数 32)(xf在 0处连续，但不可导事实上，曲线x在 ,点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于 x轴的切线（如图） 例 2求 ysin的各阶导数解：)2(cox， )2sin(si)s( xy，3)n(cxx，. )2sin()(y，所以：()ixn例 3求45(3)1xy的导数解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算此函数的定义域为 2,)(,)当 1x时， 0y，函数式两边取对数得：

3、 1lnl24ln(3)5l(1)xx因此上式两边对 x 求导，得 1y整理后得，3)2()1(3254 xxy当 2时可得同样结论例 4 lnim1xx解：这是“ ”型，通分即可化为“ 0”型111lnliliimn()lxxx111liiln2xx例 5求内接于半径为 R的球内的圆柱体的最大体积解：设圆柱的底半径为 r，高为 h则体积 2vrh，而22()hr故 223()/4)(/4)vhRh（ 02hR） ，问题转化为求函数 (v的最大值由23()0得驻点 （负值不合题意舍去） 根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最大值显然不能在端点 h， R处取得，故只在

4、唯一驻点23hR处取得即当23hR，63rR时圆柱体的体积最大，最大体积 max49v第 3 章 一元函数的积分学例 1dxa2（ 0） 解：当 时，设 tsec( 2)， tdadxnsec代入有：原式2an(sec)at l()tC为将变量 还原为 ，借助如图的直角三角形（或利用三角恒等式）有 axtsec，22tnsec1xat从而：221l()dx当 ax时，令 ux，则 a，由上，我们有：22u221 1ln()ln()CxaC2ln()xaC综合以上结论得，22ldxa 例 2求 xcosin1解： 2ts2i (1)ttddtctttt arn|ln|l)1(2ln|sico|x

5、x例 3讨论积分 1pd的收敛性解：当 1p时， 1lndx，发散；当 1p时，11limbppx 1lilim()bpbxb；当 时，有 0b，所以 1pd，广义积分收敛；当 1p时，有 p1li，从而x是发散的例 4求曲线 2xy和 2y围成的图形的面积解：由0x得交点 (1,)， (4,2)选 为积分变量，把面积分成两部分 10419(2)Adxdx另解：选 y为积分变量，积分区间 ,，2 21 1()()yy39显然选 y为积分变量计算较简单例 5计算曲线 arctnx，2l(1)yt从 0到 1t的弧长解：122 220 0()()()sdt dtt4 402secln|seca|t

6、uu ln(1)第 4 章 常微分方程例 1求齐次方程 yxd的通解解：原方程变形为 x1，设u，则 dxuy，代入方程yxd有： udxu1udx12，分离变量积分有：图 3-14dxu11212|ln)1l(arctncxu，即： cexartn2)(22ucye（这里 ） ，所以，原方程的通解为 xarctn例 2求解微分方程3)1(dx解：对应齐次方程为：02y，分离变量后积分，可得其通解为：2)1(xcy；设 ，代入方程3)1(xdx有： 322 )1()(2)()1( xcc解得： )(xc，所以原方程的通解为：22)1()(xcy例 3求微分方程yxdsin的通解解法一：原方程化

7、为：xi，对应齐次方程为：yd10，分离变量积分得对应齐次方程的通解为： xc；设 xcy)(，代入方程yxdsin1有：2()1()sinccxx解得： )sin()(csio，所以原方程的通解为：xyns解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有： dxdxdxPdxP eceeceQ11)()( )sin(1(cosinxc例 4求 xye的通解解：连续积分三次得： 1xxxxyddec ，11()()c 1()xedcx12()xec， 33cxy一般将通解写成： 321)(cxey例 5求微分方程 的通解解：这是一个不显含 的二阶微分方程，令 ()ypx，则 ()ypx

8、，代入原方程得： xp，这是一个可分离变量方程，分离变量：d，积分得： cx|ln|lxepc1（这里 ce1） ，所以原方程的通解为： 211dy，一般写成： 2xy故原方程的通解为： 2cx第 5 章 空间解析几何例 1设点 (,01)A， 0B， A的方向角 06， 045，求：（1）的值；（2）点 的坐标解：（1）由 1coscos222有 45cs6020，所以0cs62或 02；（2）设 ),(zyxB，有01cos456xx， 52y， 4z（或 6） ，则点的坐标为 6524或 (,6)例 2证明三角形的三条高线交于一点.证明：如图，设 ABC在边 ， 上的高交于点 P，且令P

9、Aa， b， Pc，有 ba， BCcb，Cc，再由 ， 有 ()0， ()0，两式相加有 0A，从而有 B，所以， A的三条高线交于一点. 例 3平面过三个定点 (,)Pa， (,)Qb， (,)Rc（ a，b， c均不为零） ，求该平面的方程解：如图，设所求平面方程为： 0DCzyx，由所求平面过三点 0,P，)0,(Q， ),(cR有：cDCbBaAcba0，代入所设平面方程得： 0zyxa1czbyax例 4已知点 )3,12(P和直线 L： 213x，求过点 )3,2(P并且与直线L垂直相交的直线方程解法一：过点 ),(且与直线 ： 1zy垂直的平面方程为：0)2(3zyx，即 05

10、x，再设直线 L与此平面的交点为 ),(zyN，则将直线 tzytx23代入上面的平面方程得：03)12()21(3ttt解得 7t，从而有交点)73,1(N，所以64,77NP取所求直线的方向向量 4s，则所求直线方程为 4312zyx解法二：设垂足为 ),(00zP，其在直线 L 上对应的参数为 0t，则：013tzyt， 003,2Ptt，由00Ps()2(1)(t，解得37t，从而有垂足 73,0，所以 064,2,177取垂线的方向向量 2,14s，则所求垂直相交的直线方程为 43zyx从此例我们也顺便得到了点 P 到直线 L 的距离为：22036|()()()177P例 5设圆柱面

11、 Ryx上有一质点，它一方面绕 z轴以等角速度 旋转，另一方面同时以等速度 0v平行于 轴的正方向移动，开始时（ 0t） ，质点在 ),(A处，求质点运动的方程解：如图，设时间 t时，质点在点 ),(zyxM， 是),(zyxM在 o平面上的投影，则 Ot，csOR，siniyOMRt，tvz0 所以质点运动的方程为 0cosinxRtyzvt此方程称为螺旋线的参数方程第 6 章 多元函数微分学例 1求 24)0,(,limyxyx解：当 沿直线 k趋于 )0,(时有：2244(,)0,lilixyxyk240lim0()xk但仍不能说函数 f在 ),(存在极限实际上，当 ,沿曲线 2趋于 )

12、,(时有：2 244001lili()xxy所以 24)0,(,limxyx不存在例 2求函数 2),(baxyf在点 ),(yx处沿其梯度方向的方向导数解： 2gradij，其方向余弦 422cosbyax， 422cosbyax所以，函数在点 ),(yx沿其梯度方向的方向导数为 22224244fal xyxybab例 3设2lnyxz，求其二阶偏导数解： 2， 2z，2()zxy2()xy， 2zxy，2，z 例 4设 vezusin， xy， 2v，求 xz， y解：由公式（1）得： x1cossiveeuu)cosi(vyeu )()n(22yxyxxyzzuussi)2sin(xu

13、 )cos()( 22exy 例 5要修建一容积为 350m的长方体水池，问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省？解：设水池的长、宽、高分别为 ,z，表面积为 S，则有 50xyz从而： 2Sxyzx1()yxy（ ,0）102yxSy310yx根据实际情况，水池表面积的最小值一定存在，并在函数定义域 D内取得，现在函数 S在D内只有唯一驻点，故可判断当长和宽等于 m3时，水池的表面积最小第 7 章 多元函数积分学例 1计算 Dxyd，其中 是由直线 1y， 2x及 xy所围成的闭区域解法一：如图，积分区域 D可看成 型区域，则2111xdd24319()()8x解法二：积分区域 亦可看成 y型

14、区域，则21yDxydd221xd231(4)yd4219()8例 2计算Dyxde2，其中22(,),0xya解：在极坐标系下，积分区域 可表示为rr0所以22xyr2 220 01()aarrdee 2()ae例 3求抛物面 2yxz在平面 1z下面那部分的面积解：如图， 在 o面上的投影区域为 2yx，因为 2xz， yz，所以xyDdfS214xy220 (51)6drd例 4设曲线 L为椭圆 2byax在第一象限的那段弧，求Lxyds解： 的方程为2byax（ 0） ，421()dsda，Lxy422201()babxxd42()ad)3(a例 5计算 dSxyz，其中 为曲面 2yxz被 1z割下的有限部分 解： 在 o面上的投影区域2(,)xyD，2114xydSzd，所以22()xyDxy152204sincorr04dd第 8 章 级数例 1判断级数12)(npcba（ 0a， ）的收敛性解：由于1/lim2p，所以原级数与12)(npa具有相同的敛散性，而 211()pnna，可知