《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点.doc

1、（第 1 页，共 18 页）试卷一： 一、单项选择题（3 分5=15 分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A） ; （B） ; 1limnknA1limnknA（C） ; （D） ;k k2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 0PP P3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设 是 上的 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )()nfxE.ae（A）若 , 则 (B) 是可测函数()f(nfxfsup()nfx（C） 是可测函数;

2、（D）若 ,则 可测ifnx)nx5、设 f(x)是 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）,ba(A) 在 上有界 (B) 在 上几乎处处存在导数)(xf )(xf,ba（C） 在 上 L 可积 (D) ,afd)(二. 填空题(3 分5=15 分)1、 _()()ssABA2、设 是 上有理点全体，则 =_, =_, =_.E0,1EoE3、设 是 中点集，如果对任一点集 都有nRT_，则称 是 可测的L得 分得 分（第 2 页，共 18 页）4、 可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. )(xf（填“充分” ， “必要” ， “充要” ）5、设 为 上的有限函数，如果对于 的一

3、切分划，使()f,ab,ab_,则称 为 ()fx上的有界变差函数。,三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5 分4=20 分)1、设 ，若E是稠密集，则 是无处稠密集。1RCE2、若 ，则 一定是可数集.0m3、若 是可测函数，则 必是可测函数。|()|fx()fx4设 在可测集 上可积分，若 ，则()fxE,()0xEf()0Efx得 分（第 3 页，共 18 页）四、解答题（8 分2=16 分）.1、 （8分）设 ，则 在 上是否 可积，是否2,()1xf为 无 理 数为 有 理 数 ()fx0,1R可积，若可积，求出积分值。L2、 （8分）求 0ln()im

4、cosxed得 分考 生 答 题 不 得 超 过 此 线（第 4 页，共 18 页）五、证明题（6 分4+10=34 分）.1、 （6 分）证明 上的全体无理数作成的集其势为 .0,1c2、 （6 分）设 是 上的实值连续函数，则对于任意常数()fx,是闭集。,|aEa3、 （6 分）在 上的任一有界变差函数 都可以表示为两个增函数之差。,ab()fx得 分考 生 答 题 不 得 超 过 此 线（第 5 页，共 18 页）4、 （6 分）设 在 上可积， ，则 .,()mEfx(|)neEflim0ne5、 （10分）设 是 上 有限的函数，若对任意 ，存在闭子集()fxE.ae0，使 在 上

5、连续，且 ，证明： 是 上的可测函FEF()mF()fxE数。(鲁津定理的逆定理)得 分阅卷人复查人（第 6 页，共 18 页）试卷一 答案：试卷一 （参考答案及评分标准）一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、1 2、 ； ； 3、0,10,1*()()mTEmTC4、充要 5、 成一有界数集。11|()|niiifxf三、1错误2 分例如：设 是 上有理点全体，则 和 都在 中稠密E0, EC0,1.5 分2错误2 分例如：设 是 集，则 ，但 c ， 故其为不可数集Cantor0m.5 分3错误2 分例如：设 是 上的不可测集，E,ab,;(),;xEfab则 是 上的可测

6、函数，但 不是 上的可测函|()|fx, f,数.5 分4错误2 分5 分0mE时 ， 对 上 任 意 的 实 函 数 ()fx都 有 ()0Efxd四、1 在 上不是 可积的，因为 仅在 处连续，即不连续点为()fx,1R1正测度集.3 分因为 是有界可测函数， 在 上是 可积的6 分()f ()fx0,1L因为 与 相等，进一步， 8 分x2.ae120,10()3fdx（第 7 页，共 18 页）2解：设 ，则易知当 时，ln()cosxfxen()0nfx.2 分又因 ，( )，所以当 时，2l1l0tt3t3,0x4 分ln()lnln(1)xxx从而使得 6 分|(|(1)3xnf

7、e但是不等式右边的函数，在 上是 可积的，故有0,L8 分00lim()li()nnfxdfxd五、1设 ,1E,().AQBE2 分BM是 无 限 集 ， 可 数 子 集.3 分.A:是 可 数 集 ，.5 分(), (),( (),EAB且6 分,.EBc:2 .2 分,limnnxExx则 存 在 中 的 互 异 点 列 使.3 分,()nnfa()(li()nfxfxfa在 点 连 续 ，5 分E.6 分是 闭 集 .3. 对 ， ，使对任意互不相交的有限个10 (,)(,iab当 时，有 2 分1()niiba1()1niiifbfa（第 8 页，共 18 页）将 等分，使 ，对 ，

8、有,abm11nix:T101ixzkizx，所以 在 上是有界变差函11()kiiifzf ()f1,i数.5 分所以 从而 ，因此， 是 上的有界变差函1(),iixfV()bafm()fx,ab数.6 分4、 在 上可积 2 分()fxEli(|)(|)0nEfnf据积分的绝对连续性， ，0,e有 .4 分|()|efxd对上述 ，从而 ，即0,(|)knmEfn|()|nemfxd6 分limn5 存在闭集 在 连,N1,()2nnFfxnF续2 分令 ，则 在 连1nkF,()nnkxxfx续4 分又对任意 , ()()nnkkmEFmEF.6 分1()2nknk故 在 连续.8 分

9、0,(fx又 所以 是 上的可测函数，从而是 上的()mEF)EFE可测函数.10 分（第 9 页，共 18 页）试卷二：实变函数试卷二专业_班级_姓名 学号注 意 事 项1、本试卷共 6 页。2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。一.单项选择题（3 分5=15 分）1设 是两集合，则 =（ ）,MN()MN(A) (B) (C) (D) 2. 下列说法不正确的是( )(A) 的任一领域内都有 中无穷多个点，则 是 的聚点 0PE0PE(B) 的任一领域内至少有一个 中异于 的点，则 是 的聚点 (C) 存在 中点列 ，使 ，则 是 的聚点 EnP0n0题号 一

10、二 三 四 五 总分得分得 分（第 10 页，共 18 页）(D) 内点必是聚点3. 下列断言( )是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；4. 下列断言中( )是错误的。（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 5. 若 ，则下列断言（ ）是正确的()fx是 可 测 函 数(A) 在 可积 在 可积； ,abL|()|fx,abL(B) ()|fxRR在 可 积 在 可 积(C) ;,|()|,fx在 可 积 在 可 积(D) ()fxaL在 广 义 可 积 在 +可 积二. 填空题(3 分5=15 分)1、设 ，则 _。1,2,nAn nAlim2、设 为 Cantor 集，则 ， _， =_。PPoP3、设 是一列可测集，则iS11_i iiSS4、鲁津定理：_5、设 为 上的有限函数，如果()Fx,ab_则称 为 上的绝对连续函数。()Fx,ab得 分 得 分阅卷人复查人